7.4 • Étude détaillée d’un modèle d’épidémiologie
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7.4.2 Étude du système (S) au voisinage du point
d’équilibre (S 1 , I 1 ) = (N 0 , 0)
On pose
et
. Le système obtenu est:
dont la partie linéaire:
est appelée le linéarisé du système initial.
Les valeurs propres de la matrice associée au linéarisé sont égales à
–γ et β N 0 – ν. Pour appliquer le théorème 2 (cf. §1.2), on suppose
qu’elles ne sont pas nulles. Par conséquent,
➤ si –γ et β N 0 – ν sont de signes contraires, le point (S 1 , I 1 ) est un
point-selle,
➤ si –γ et β N 0 – ν sont de même signe, le point d’équilibre (S 1 , I 1 ) est
un nœud stable si ce signe est négatif, instable sinon.
7.4.3 Étude du système (S) au voisinage du point
d’équilibre (S 2 , I 2 ) =
On pose
et
.
Le système obtenu est:
dont la partie linéaire est:
1
0
X S N
= −
1
Y I
=
1
1
0
1
11
1
0
1
1 1
d
(
)
d
d
(
)
d
X
X
N Y
XY
t
Y
N
Y
X Y
t
γ
γ β
β
β
ν
β
= −
− +
−
=
−
+
{
1
1
0
1
1
0
1
d
(
)
d
d
(
)
d
X
X
N Y
t
Y
N
Y
t
γ
γ β
β
ν
= −
− +
=
−
{
ν
β
-- - ;
γ N 0 β ν
–
(
)
β ν γ
+
(
)
-------------------------



2
X S
ν
β
= −
0
2
(
)
(
)
N
Y I
γ
β ν
β ν γ
−
= −
+
0
2
2
2
22
0
2
2
1 1
(
)
d
(
)
d
(
)
d
d
N
X
X
Y
X Y
t
N
Y
X
X Y
t
γ γ β
γ ν
β
γ ν
γ β
ν
β
γ ν
+
= −
− +
−
+
−
=
+
+
{
0
2
2
2
0
2
2
(
)
d
(
)
d
(
)
d
d
N
X
X
Y
t
N
Y
X
t
γ γ β
γ ν
γ ν
γ β
ν
γ ν
+
= −
− +
+
−
=
+
{