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Chapitre 7 • Systèmes différentiels
– le terme νI, la quantité d’individus infectés qui guérissent par unité
de temps dt,
– le terme γ R, la quantité d’individus immunisés et qui perdent leur
immunité par unité de temps dt.
Pour étudier un tel système différentiel, on commence par situer les
positions d’équilibre, c’est-à-dire des points (S,I,R) qui annulent le
second membre :
On trouve deux infinités de points.
La première est I = 0, R = 0 et S quelconque. Ils signifient qu’en
l’absence d’infectés et de remis, la population considérée est constituée seulement de sains, et le restera.
La deuxième catégorie de points d’équilibre est définie par :
On remarque que ce système admet une intégrale première
, où :
Cela signifie que les trajectoires se trouvent entièrement dans des
plans d’équations :
(constante).
Cette intégrale première va nous aider à réduire la dimension du
modèle.
En effet, partant d’une population composée de S 0 susceptibles, de
I 0 infectés et de R 0 remis, la somme de ces individus
reste constante dans la dynamique du système (S) qui se réduit alors
au nouveau système:
dont les points d’équilibre sont:
La suite de l’étude passe, dans la majeure partie des cas, par celle
de la nature des points d’équilibre, plus précisément, par les systèmes
linéarisés au voisinage de chaque point singulier.
0
I S
R
I S
I
I
R
β
γ
β
ν
ν γ
−
+
=
−
=
−
= .
et
avec le nombre arbitraire
R
I
S
R
γ
ν
ν
β
=
=
.
3
F :
→
\
\
(
)
F S I R S I R
, , = + + .
S I R C
+ + =
0
0
0
0
N S I R
= + +
0
d
(
)
d
( )
d
d
r
S
I S
N I S
t
S
I
I S
I
t
β
γ
β
ν
= −
+
− −
=
−
{
0
1 1
0
2 2
(
)
(
) (
0)
et
(
)
(
)
N
S I
N
S I
γ
β ν
ν
β β ν γ
−
, =
,
, =
.
)
(