7.4 • Étude détaillée d’un modèle d’épidémiologie
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Ses valeurs propres sont à partie réelle nulle. Le théorème 2 (cf.
§1.2) ne nous permet pas de conclure.
Cependant, en tenant compte du fait que la fonction :
est une intégrale première et que, pour x et y
suffisamment petits, ses courbes de niveau sont fermées, les trajectoires du système initial au voisinage de (0,0) sont aussi fermées.
En revanche, au voisinage de (0,π) le système différentiel
approximé par :
présente un équilibre (0,π) qui n’est pas stable car, dès qu’on le
perturbe un peu, le pendule quitte le voisinage de la position et tombe.
7.4 ÉTUDE DÉTAILLÉE D’UN MODÈLE D’ÉPIDÉMIOLOGIE
7.4.1 Modélisation
Pour étudier la propagation d’une maladie contagieuse, on distingue
trois catégories d’individus en fonction de leur susceptibilité vis-à-vis
de la maladie : les susceptibles (S) qui sont sains et qui peuvent être
contaminés, les infectés (I) et les remis (R) qui retrouvent le statut des
susceptibles. En représentant cette situation par le schéma :
on aboutit au modèle mathématique :
où les coefficients β, γ et ν sont dans l’intervalle ]0, 1[.
En outre,
– le terme β I S quantifie le nombre d’individus susceptibles qui sont
infectés par unité de temps dt,
2
1
( ) cos
2
x y
x
y
,
−
6
d
d
d
d
x y
t
y x
t
=
=
{
S →
S
S
I
→
S
R
d
d
d
( )
d
d
d
S
I S
R
t
I
S
I S
I
t
R
I
R
t
β
γ
β
ν
ν γ
= −
+
=
−
=
−
{