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Chapitre 7 • Systèmes différentiels
7.3.2 Définition intuitive de la stabilité
Le meilleur exemple pour comprendre la stabilité est donné par
celui du pendule sans frottement régi par l’équation :
qui s’écrit aussi :
où
désigne l’angle que forme la tige du pendule avec la verticale.
Les positions d’équilibre résultent de l’annulation du second
membre, c’est-à-dire
que nous interprétons comme
des positions égales à 0 ou π (modulo 2π) avec une vitesse initiale
nulle (
).
On montre que, si l’on approxime le système différentiel au voisinage de (0,0) par son linéarisé (soit
pour x petit) :
on obtient une position stable, puisque, lorsqu’on le perturbe, pour
tous les temps postérieurs, son amplitude ne dépasse pas celle de la
perturbation.
( ) sin( ( )) 0
x t
x t
+
=
′′
d
d
d
sin
d
x y
t
y
x
t
=
= −
{
( )
x t
Figure 7.21
Figure 7.22
( ) ( 0)
x y
kπ
, =
,
0
y =
sin x x
≈
d
d
d
d
x y
t
y
x
t
=
= −
{