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Chapitre 7 • Systèmes différentiels
Si les nombres
et
sont négatifs, le point
(S 2 , I 2 ) est stable.
0
(
)
N
γ γ β
γ ν
+
+
0
(
)
N
γ β
ν
−
Systèmes chaotiques et attracteur
de Lorenz (1917-2008)
Dans le cadre des systèmes dynamiques (déterministes), l’apparition de phénomènes chaotiques signifie avant tout une très forte
sensibilité des solutions (trajectoires) par rapport aux conditions
initiales. On les rencontre dans différentes sciences comme la physique, l’économie, la biologie ...
En biologie par exemple, certains aspects des migrations de populations, les arythmies cardiaques, l’activité des neurones, certains
actes de surveillance chez les proies, relèvent du chaos.
Par ailleurs, l’interprétation de ce chaos peut varier d’une situation
à une autre: elle peut signifier une grande aptitude d’adaptation (battement de cœur) ou la présence d’une anormalité comme chez la plupart des schizophrènes qui ne peuvent pas suivre du regard une cible
en mouvement (le mouvement des yeux est quasi-périodique).
Bien que l’idée d’existence de mouvements chaotiques remonte à
Poincaré (1854-1912), ce fut Edward N. Lorenz, météréologue américain et disciple du fondateur des systèmes dynamiques G. Birkhoff
qui, en 1963, construisit un système différentiel en dimension trois
où l’on observe le phénomène. Ce système, simple d’écriture, est:
où b, r et s sont des paramètres réels.
Avec s = 10, r = 28 et
on obtient les graphiques suivants :
– pour les fonctions:
(fig.7.23),
(fig.7.24),
(fig.7.25);
d
(
)
d
d
d
d
d
x s y x
t
y rx y xz
t
z xy bz
t
=
−
= − −
= −
d
d
z xy bz
t
= −
d
d
y rx y xz
t
= − −
{
8
3
b =
( )
t
x t
6
( )
t
y t
6
( )
t
z t
6
Chapitre 7 • Systèmes différentiels
Si les nombres
et
sont négatifs, le point
(S 2 , I 2 ) est stable.
0
(
)
N
γ γ β
γ ν
+
+
0
(
)
N
γ β
ν
−
Systèmes chaotiques et attracteur
de Lorenz (1917-2008)
Dans le cadre des systèmes dynamiques (déterministes), l’apparition de phénomènes chaotiques signifie avant tout une très forte
sensibilité des solutions (trajectoires) par rapport aux conditions
initiales. On les rencontre dans différentes sciences comme la physique, l’économie, la biologie ...
En biologie par exemple, certains aspects des migrations de populations, les arythmies cardiaques, l’activité des neurones, certains
actes de surveillance chez les proies, relèvent du chaos.
Par ailleurs, l’interprétation de ce chaos peut varier d’une situation
à une autre: elle peut signifier une grande aptitude d’adaptation (battement de cœur) ou la présence d’une anormalité comme chez la plupart des schizophrènes qui ne peuvent pas suivre du regard une cible
en mouvement (le mouvement des yeux est quasi-périodique).
Bien que l’idée d’existence de mouvements chaotiques remonte à
Poincaré (1854-1912), ce fut Edward N. Lorenz, météréologue américain et disciple du fondateur des systèmes dynamiques G. Birkhoff
qui, en 1963, construisit un système différentiel en dimension trois
où l’on observe le phénomène. Ce système, simple d’écriture, est:
où b, r et s sont des paramètres réels.
Avec s = 10, r = 28 et
on obtient les graphiques suivants :
– pour les fonctions:
(fig.7.23),
(fig.7.24),
(fig.7.25);
d
(
)
d
d
d
d
d
x s y x
t
y rx y xz
t
z xy bz
t
=
−
= − −
= −
d
d
z xy bz
t
= −
d
d
y rx y xz
t
= − −
{
8
3
b =
( )
t
x t
6
( )
t
y t
6
( )
t
z t
6