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Chapitre 7 • Systèmes différentiels
7.3 ÉLÉMENTS DE LA THÉORIE DE LA STABILITÉ
7.3.1 Observation d’exemples
Comme pour l’évolution des classes d’âge d’une population donnée,
modélisées par les matrices de Leslie, le devenir des effectifs à plus
ou moins long terme, constitue une question importante de l’analyse
qualitative des systèmes différentiels.
Observons différents cas du modèle prédateur-proie.
• Premier exemple
Les trajectoires du système différentiel :
sont représentées sur le graphique ci-dessous.
On constate que les trajectoires sont fermées et, quelle que soit
la répartition initiale des prédateurs et des proies, les deux espèces
vont s’engager dans un processus oscillatoire où, périodiquement,
elles reviennent à leurs effectifs initiaux. Par conséquent, aucune ne
disparaît.
On dira que la position d’équilibre (100,1000) est stable.
5
d
(0 1 0 0001 )
d
d
(4 10
0 04)
d
x x
y
t
y y
x
t
−
=
, − ,
=
×
− ,
{
Figure 7.17