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Chapitre 7 • Systèmes différentiels
• La matrice A n’est pas diagonalisable
Elle est alors semblable à :
et la solution générale s’écrit sous la forme :
où U est un vecteur propre de A et V un vecteur tel que (U,V) soit une
base de R 2 .
Si λ = 0, les points de la droite vectorielle de direction U sont des
points singuliers.
Le cas λ < 0 est représenté sur la figure 7.6 ; le cas λ = 0 sur la
figure 7.7 ; le cas λ < 0 sur la figure 7.8.
7.2.3 Cas ∆ > 0 : les valeurs propres sont réelles
et distinctes
Si λ 1 et λ 2 désignent les valeurs propres, la matrice A est alors diagonalisable, et la solution générale s’écrit sous la forme :
où U et V sont des vecteurs propres associés aux valeurs propres λ 1 et
λ 2 , et K 1 et K 2 des réels quelconques.
La discussion porte sur le signe des valeurs propres.
1
0
J
λ
λ
=
)
(
0
(
)
1
2
2
( ) [(
)
]e
t t
t
K K t U K V
λ
ϕ
−
=
+
+
Figure 7.6
Figure 7.7
1
2
1
2
( )
e
e
t
t
t K U
K V
λ
λ
ϕ =
+
.