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Chapitre 7 • Systèmes différentiels
7.2 REPRÉSENTATION DES TRAJECTOIRES DES SYSTÈMES
LINÉAIRES HOMOGÈNES CONSTANTS 2 × 2
7.2.1 Introduction
On se propose, ici, d’étudier le comportement des trajectoires des
systèmes différentiels linéaires :
où les coefficients a, b, c et d sont réels.
La classification des points singuliers dépend des propriétés algébriques de la matrice associée. Rappelons que ces systèmes linéaires
sont autonomes et, par conséquent, les trajectoires différentes sont
nécessairement disjointes.
Le polynôme caractéristique de la matrice A associée au système est :
L’étude repose sur le discriminant ∆ de ce trinôme.
7.2.2 Cas ∆ = 0 : la valeur propre est double
L’espace propre associé à cette valeur propre peut être soit le plan R 2
entier (la matrice A est alors diagonalisable), soit une droite (la
matrice A est alors non diagonalisable).
Figure 7.1
Figure 7.2
x
ax by
y
cx dy
=
+
′
=
+
′
{
2
( )
(
) (
)
P
a d
a d b c
λ λ
λ
= − +
+
− .