7.1 • Définitions et premiers exemples
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➤ Une solution
est périodique s’il existe une constante
T > 0 telle que :
La trajectoire d’une telle solution est fermée (c’est une boucle).
➤ On appelle intégrale première du système différentiel (S), toute
fonction
qui vérifie l’égalité :
Cette égalité signifie que la fonction composée :
est constante sur les courbes intégrales.
Dans le cas des systèmes autonomes, l’intégrale première F ne
dépend pas de t. Ainsi, dans l’exemple du système prédateur-proie, la
fonction :
est une intégrale première ; les trajectoires du système se trouvent sur
les courbes de niveau de F.
• Théorème 1
Les trajectoires d’un système différentiel autonome sont confondues,
ou n’ont aucun point d’intersection.
• Théorème 2
Si les parties réelles des valeurs propres du système linéarisé au voisinage du point singulier
ne sont pas nulles, les trajectoires de ce
système ont le même comportement qualitatif que celles du système
initial au voisinage du même point d’équilibre.
• Exemple
Pour le système
la figure 7.1 représente les trajectoires, et la figure 7.2 les courbes
intégrales.
n
ϕ : →
\ \
(
)
( )
t
t T
t
ϕ
ϕ
∀ ∈
+ =
.
\
1
2
1
2
(
)
(
)
( )
n
n
t x x … x
F t x x … x
F t x
, , , ,
, , , ,
=
,
6
1
2
1
2
( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 0
n
n
F
F
F
F
t x
t x f t x
t x f t x
t x f t x
t
x
x
x
∂
∂
∂
∂
, +
,
, +
,
, + +
,
, = .
∂
∂
∂
∂
"
( ( ))
( ( ))
( )
t
t x t
F t x t
U t
,
,
=
6
6
( )
( )
ln
ln
a
b
d
x y
F x y
x
y
x
y
c
a
a
,
, =
+
−
−
6
1 1
(
)
S I
,
( )
( )
( )
( )
x t
y t
y t
x t
= −
′
=
′
{