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Chapitre 7 • Systèmes différentiels
➤ On remarque que les équations différentielles de la forme :
peuvent se ramener à un système différentiel de la forme (S).
Pour cela, on introduit de nouvelles fonctions :
Ces fonctions vérifient :
• Sur les solutions
➤ Une solution d’un système différentiel (S) est une fonction vectorielle
, dérivable qui vérifie les
équations du système.
Dans l’exemple du système prédateur-proie, les fonctions vectorielles
et
sont des solutions.
➤ On appelle problème de Cauchy, la donnée d’un système différentiel et d’une donnée initiale
.
La solution du problème de Cauchy est une solution du système
différentiel considéré qui vérifie la condition initiale :
.
➤ On appelle point d’équilibre (ou stationnaire, ou singulier) du
système différentiel autonome tout point
de
l’espace qui vérifie
.
Le système prédateur-proie admet deux points singuliers, (0,0) et
.
➤ On appelle trajectoire d’une solution
, l’ensemble des
points ϕ(t) de , où t parcourt l’intervalle I. C’est donc une courbe
paramétrée.
➤ On appelle courbe intégrale d’une solution
, l’ensemble
des points
de
, où t parcourt l’intervalle I. C’est donc la
représentation graphique de la solution ϕ dans
.
( )
( 1)
( )
( ( ) ( )
( ))
n
n
x t g t x t x t … x
t
−
= ,
,
, ,
′
( 1)
1
2
( )
( )
( )
( )
( )
( )
n
n
x t x t
x t x t
… x t x
t
−
=
,
=
,
,
=
.
′
1
2
2
3
1
2
d
d
d
d
d
(
)
d
n
n
x
x
t
x
x
t
x
g t x x … x
t
=
=
=
, , , , .
#
#
{
1
2
( ) ( ( ) ( )
( ))
n
t
x t
x t x t … x t
=
,
, ,
6
0
(0 e )
dt
t
y
−
,
6
0
( e 0)
at
t
x ,
6
0
0
(
)
t x
,
0
0
( )
x t
x
=
1
2
(
)
n
u u u …u
= , ,
( ) 0
f u =
,
d b
c a )
(
n
I
ϕ : → \
n
\
n
I
ϕ : → \
( ( ))
t t
ϕ
,
1
n+
\
1
n+
\