7.1 • Définitions et premiers exemples
157
7.1.2 Définitions de base
• Notations
Avant d’aller plus loin, nous avons besoin de quelques définitions qui
portent sur le système différentiel :
où x est un vecteur à n composantes
et
, des
fonctions scalaires qui dépendent de n+1 variables réelles.
On convient de le noter sous forme vectorielle :
• Sur les formes du système
➤ Le système différentiel (S) est dit autonome si le temps t est absent
du second membre :
Ainsi, le modèle prédateur-proie de l’exemple introductif définit
un système différentiel autonome.
➤ Le système différentiel (S) est linéaire s’il s’écrit sous la forme :
où A et a sont des fonctions respectivement matricielle et vectorielle
définies sur un ouvert I de R.
Si a est identiquement nulle, le système correspondant est dit
linéaire homogène.
Un système linéaire est autonome s’il est de la forme :
où A est une matrice constante et a un vecteur fixe.
1
1
1
2
2
2
1
2
1
2
d
(
)
d
d
(
)
( )
d
d
(
)
d
n
n
n
n
n
x
f t x x … x
t
x
f t x x … x
S
t
x
f t x x … x
t
=
, , , ,
=
, , , ,
=
, , , ,
#
#
{
1
2
n
x x … x
, , ,
1 2
n
f f … f
, , ,
d
( )
( )
d
x
S
ftx
t
=
, .
d
( )
d
x f x
t
=
.
d
( )
( )
d
x A t x a t
t
=
+
,
d
d
x Ax a
t
=
+