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Chapitre 7 • Systèmes différentiels
➤ Le nombre de morts naturels de l’espèce Y est proportionnel à
l’effectif de Y.
➤ Les fonctions inconnues sont positives.
• Modèle
On en déduit un système différentiel (ou système dynamique) de la
forme :
où a, b, c et d sont les différents coefficients de proportionalité, tous
positifs et les dérivées
et
désignent leurs taux (vitesses)
d’accroissement.
Partant d’une donnée initiale (x(0), y(0)) des espèces X et Y, ce
modèle nous permet de prédire l’évolution de leurs populations à tout
instant t.
Ainsi, par exemple, si (x(0), y(0)) = (0,0) ou
,
les effectifs ne varient pas et restent égaux aux effectifs de départ.
Dans ce modèle, la vitesse de croissance de l’effectif x de l’espèce
X dépend positivement de l’effectif x de l’espèce X et négativement de
l’effectif y de l’espèce Y.
À l’opposé, la vitesse de croissance de y dépend positivement de x
et négativement de y.
En fait, ce modèle décrit une compétition entre deux entités dans
un milieu fermé ; cela pourrait être des plantes, des valeurs économiques à la bourse ...
• Méthodes d’étude
Pour étudier ces systèmes différentiels et bien d’autres, nous disposons de différentes méthodes que l’on peut regrouper en trois catégories ; celles qui relèvent :
➤ du calcul de solutions exactes (à l’aide des fonctions élémentaires),
➤ du calcul approché des solutions (algorithmes de résolution, calcul
numérique),
➤ et enfin, d’une analyse qualitative sur le comportement des trajectoires.
d
(
)
d
d
(
)
d
x
x a by
t
y
y cx d
t
=
−
=
−
{
d
d
x
t
d
d
y
t
( (0) (0))
d b
x
y
c a
,
=
, )
(