7 Systèmes différentiels
7.1 DÉFINITIONS ET PREMIERS EXEMPLES
7.1.1 Exemple introductif : le modèle prédateur-proie
• Conditions d’utilisation du modèle
Le modèle le plus connu est celui du prédateur-proie. Soit X et Y deux
espèces animales, la première servant de proies pour la seconde. On
note x(t) et y(t) leurs nombres d’individus à l’instant t.
En supposant que les deux espèces vivent dans un milieu fermé, le
modèle simplifié qui décrit leurs effectifs à tout instant t repose sur les
observations suivantes :
➤ Le nombre de naissances de l’espèce X est proportionnel à l’effectif
de l’espèce.
➤ Le nombre de morts naturels ou par prédation de l’espèce X est
proportionnel à la fois aux effectifs de X et de Y.
➤ Le milieu nourricier de l’espèce X est illimité.
➤ Le nombre de naissances de l’espèce Y est proportionnel à la fois
aux effectifs de X et de Y.
PLAN
7.1 Définitions et premiers exemples
7.2 Représentation des trajectoires des systèmes linéaires homogènes
constants 2 × 2
7.3 Modèles biologiques de systèmes dynamiques
7.4 Éléments de la théorie de la stabilité
OBJECTIFS
➤ Modéliser des phénomènes biologiques par des systèmes dynamiques
➤ Représenter les solutions d’un système simple
➤ Comprendre les notions d’équilibre et de stabilité
7.1 DÉFINITIONS ET PREMIERS EXEMPLES
7.1.1 Exemple introductif : le modèle prédateur-proie
• Conditions d’utilisation du modèle
Le modèle le plus connu est celui du prédateur-proie. Soit X et Y deux
espèces animales, la première servant de proies pour la seconde. On
note x(t) et y(t) leurs nombres d’individus à l’instant t.
En supposant que les deux espèces vivent dans un milieu fermé, le
modèle simplifié qui décrit leurs effectifs à tout instant t repose sur les
observations suivantes :
➤ Le nombre de naissances de l’espèce X est proportionnel à l’effectif
de l’espèce.
➤ Le nombre de morts naturels ou par prédation de l’espèce X est
proportionnel à la fois aux effectifs de X et de Y.
➤ Le milieu nourricier de l’espèce X est illimité.
➤ Le nombre de naissances de l’espèce Y est proportionnel à la fois
aux effectifs de X et de Y.
PLAN
7.1 Définitions et premiers exemples
7.2 Représentation des trajectoires des systèmes linéaires homogènes
constants 2 × 2
7.3 Modèles biologiques de systèmes dynamiques
7.4 Éléments de la théorie de la stabilité
OBJECTIFS
➤ Modéliser des phénomènes biologiques par des systèmes dynamiques
➤ Représenter les solutions d’un système simple
➤ Comprendre les notions d’équilibre et de stabilité