1.3 • Représenter un phénomène biologique par une fonction
11
La droite d’équation
qui rend S minimum est celle qui
passe par le point moyen
et dont la pente est égale à :
Cette droite s’appelle la droite de régression de Y par rapport à X.
La covariance de X et de Y est définie par :
La deuxième expression se retient par :
moyenne des produits – produit des moyennes.
• Qualité de l’ajustement
Après obtention de la droite de régression de Y par rapport à X, on
peut écrire :
égalité que l’on interprète par :
variance de Y = variance expliquée + variance résiduelle.
On constate que :
y
y = ax + b
ax i + b
y i
x i
x
M i
M p
M 1
S = Σ n i (y i – ax i – b)
2
p
i =1
Figure 1.3
= +
y ax b
,
( )
M x y
,
=
⋅
Cov(
)
( )
X Y
a
V X
=
=
, =
−
− =
− .
1
1
1
1
Cov(
)
(
)(
)
n
n
i
i
i i
i
i
X Y
x x y y
x y
x y
n
n
)
( ∑
∑
=
=
+ +
−
−
2
1
1
( )
(
)
(
)
p
i
i
i
i
V Y V aX b
n y ax b
n
∑
+
,
=
=
=
= .
2
2
2
variance expliquée
(
)
( ) (Cov(
))
variance totale
( )
( )
( ) ( )
V aX b
V X
X Y
a
r
V Y
V Y
V X V Y