Solutions
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4. En un point M (v, h), la direction dans laquelle la fonction NBI
varie le plus vite (direction de plus grande pente) est dirigée par le
vecteur gradient :
La valeur maximale de cette variation directionnelle (valeur de la plus
grande pente) est :
5. Les conditions nécessaires de premier ordre s’écrivent :
L’étude de ce point critique avec les dérivées partielles secondes peut
vous faire peur. Mais en remarquant que ce point est tel que
f (v, h) = 0 et que la fonction f est à valeurs positives, il s’agit d’un
minimum, et même d’un minimum global.
Le résultat que nous venons de démontrer correspond bien à l’intuition visuelle :
c’est au sommet que la pente varie le moins vite.
6.11 1. À l’aide d’un logiciel, on obtient la représentation graphique
suivante :
(
)
0 933 2 960 9
grad(
)( )
(
)
0 0131 0 346 25
NBI
v
v
NBI v h
NBI
h
h
∂
− ,
+ ,
∂
, =
=
∂
∂
JJJJG
)
(
)
(
+ ,
,
–
( ) grad(
)( )
f v h
NBI v h
, =
,
JJJJG
2
2
( 0 933 2 960 9) ( 0 0131 0 346 25)
v
h
= − ,
+ ,
+ − ,
+ ,
0
0 933 2 960 9 0
3 17
0 0131 0 346 25 0
26 4
0
f
v
v
v
f
h
h
h
∂ =
− ,
+ ,
=
≈ ,
∂
⇐
∂
−,
+ ,
=
≈ ,
=
∂
⇔
⇔
{
{
{
Figure 6.9