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Chapitre 6 • Fonctions de plusieurs variables
• Étude au voisinage de B(0, π)
Là encore, la différence
n’est pas de signe constant au voisinage de (0, 0). Le point B(0, π) n’est pas un extrémum.
6.7 Les conditions nécessaires de premier ordre s’écrivent :
Donc seul le point critique (1, 3) est susceptible d’être un extrémum
de ϕ.
On peut étudier sa nature avec les dérivées partielles secondes.
En un point quelconque, on a :
Au point critique, on a :
On a donc
, ce qui montre que le point critique n’est
pas un extrémum ; c’est un point-col.
6.8 En un point M 0 , la vitesse de variation de la densité D est maximum dans la direction du gradient :
Ce vecteur est colinéaire au vecteur plus simple :
.
6.9 Il s’agit de déterminer les coefficients a, b, c qui minimisent la
fonction :
π
π
−
∆ , =
+ , + −
, =
− ≈ −
sin
( )
(0
) (0 ) e
1
h k
h k
f
h
k f
h k
∆ ,
( )
h k
2
0
3
1
3
0
1
k
k
k
k
η
ϕ
η
η
∂
=
=
−
=
∂
⇔
∂
=
=
=− +
∂
⇔
{
{
∂ϕ
2
2
2
2
2
6
1
0
k
k
k
ϕ
ϕ
ϕ
η
η
∂
∂
∂
=
;
=− ;
= .
∂
∂∂
∂
2
2
2
2
2
(1 3) 6
(1 3)
1
(1 3) 0
R
S
T
k
k
ϕ
ϕ
ϕ
η
η
∂
∂
∂
=
, =
;
=
, =− ;
=
, = .
∂
∂∂
∂
−
= >
2
1 0
S RT
gradD
JJJJG
2
2
0
0
0
0
0
2
2
0
0
0
0
2
2
0
0
0
0
0
2
2
0
0
5
(
) 3exp 5
2
2
d (
)
10
(
) 3exp 5
2
2
x
D x y
x
y
x
x
y
D x y
y
D x y
x
y
x
x
y
−
∂
,
=
−
+
∂
+
,
=
−
∂
,
=
−
+
∂
+
G
]
]
[
[
)
(
y
0
0
2
x
y )
(
=
, , =
+
+
−
.
5
2
2
1
(
)
(
)
i
i
i
i
f a b c
a bx cx y
∑