Solutions
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On a donc
, ce qui montre que le point critique est
un extrémum ; et il s’agit d’un minimum car R > 0. Sa valeur est
f(0,3) = –9.
On peut aussi étudier le point critique obtenu en considérant la
différence :
Comme cette différence est positive, c’est une autre démonstration
que le point (0,3) est un minimum.
Mieux : comme aucun terme n’a été négligé dans le calcul de la différence, le minimum est global.
6.6 • Conditions nécessaires de premier ordre
Si la fonction f admet un extrémum en (x, y), on a nécessairement :
Ce système est équivalent à :
Comme
, il suffit d’étudier f au voisinage des
points A(0, 0) et B(0, π).
• Étude au voisinage de A(0, 0)
Étudions le signe de la différence :
lorsque h et k sont voisins de 0.
Comme
, on a
.
Comme
, on a
.
Si
, on a
; si
, on a
.
La différence
n’est donc pas de signe constant au voisinage de
(0,0).
Le point A(0, 0) n’est pas un extrémum de f.
−
=− <
2
3 0
S RT
+ , + −
, = + + = +
+
.
2
2
2
2
1
3
(0
3 ) (0 3)
2
4
f
h
k f
h hk k
h
k
k
)
(
sin
sin
( ) sin e
0
( )
cos e
0
x y
x y
f x y
y
x
f x y x
y
y
∂
, =
=
∂
∂
, =
=
∂
{
sin
0
0
cos
0
avec
y
x
x
y
y k
k
π
=
=
⇐
=
=
∈ Z
⇔
{
{
x = 0
π
, +
=
,
(
2 )
( )
f x y
f x y
sin
( )
(0
0 ) (0 0) e
1
h
k
h k
f
h
k f
∆ , =
+ , + −
, =
− .
→
− =
0
e 1
im
1
x
x
x
→0
x
lim
∆ , ≈
( )
sin
h k h k
→
=
0
sin
lim
1
x
x
x
lim
→0
x
∆ , ≈
( )
h k h k
=
h k
>
2
0
h
= −
h
k
− <
2
0
h
∆ ,
( )
h k