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Chapitre 6 • Fonctions de plusieurs variables
6.4 On a
et
. La direction de A vers B est
donc orientée par le vecteur unitaire
.
Par ailleurs, en calculant les dérivées partielles premières, on a :
La vitesse de variation de T au point A(2,2) lorsque l’on se déplace
dans la direction du point B(1,5) est donc :
6.5 Les conditions nécessaires de premier ordre s’écrivent :
Donc seul le point critique (0,3) est susceptible d’être un extrémum
de f.
On peut étudier sa nature avec les dérivées partielles secondes.
∂
∂
−
, =
=
∂
∂
2
2
2
2
2
2
2
2 2
2
2
2
( )
(
)
f
y
x
y
x y
y
y x y
x y
+
+ )
(
2
2
( )
(cos cos )
sin cos
g x y
x
y
x
y
x
x
∂
∂
, =
= −
∂
∂
∂
∂
, =
−
= −
∂ ∂
∂
2
( )
( sin sin )
cos sin
g x y
x
y
x
y
x y
x
2
2
( )
( sin sin )
sin cos
g x y
x
y
x
y
y
y
∂
∂
, =
−
= −
∂
∂
1
3
AB
−
=
JJG
)
(
10
AB =
JJG
−
=
1
1
3
10
u
G
)
(
gradT
JJJJG
2
0 8
0 2
d ( )
puis
grad (2 2)
1 6
0 4
y
T x y
T
xy
,
,
, =
, =
G
JJJJG
)
)
(
( ,
,
gradT
JJJJG
gradT
JJJJG
4
d (2 2)
1 2649
10
T
u
, ⋅ =
≈ ,
.
G
G
0
2
3
0
3
0
2 6
f
x y
x
x
f
y
x
y
y
∂
=
= + −
=
∂
⇐
∂
=
=
= + −
∂
⇔
{
{
∂
∂
∂
=
, =
;
=
, = ;
=
, = .
∂
∂ ∂
∂
2
2
2
2
2
(0 3) 2
(0 3) 1
(0 3) 2
f
f
f
R
S
T
x
xy
y