146
Chapitre 6 • Fonctions de plusieurs variables
En un point M 0 (x 0 , y 0 ), déterminez la direction dans laquelle la densité
de population croît le plus vite.
6.9 Ajustement d’une parabole à des points expérimentaux
Déterminez la parabole d’équation :
passant au plus près des points
(–2, 1), (–1, 0), (0, 0), (1, 1), (2, 2)
au sens des moindres carrés. On admet que le minimum existe.
6.10 Des insectes et leur habitat
Des espèces d’insectes ont été inventoriées dans plusieurs milieux sur
une colline calcaire, selon une échelle de dynamique végétale v depuis
la pelouse sèche écorchée (valeur : 1) jusqu’au-sous bois (valeur : 6),
et la hauteur h (en cm) de la végétation herbacée (entre 5 et 40 cm).
Le nombre NBI d’espèces d’insectes peut être modélisé par la fonction définie par :
1. Représentez cette fonction à l’aide d’un graphe en 3D.
2. Quelle est la valeur du milieu (combinaison de la valeur de
l’échelle de dynamique végétale et de la hauteur) où l’on attend la
plus grande richesse (le plus grand nombre d’espèces) ?
3. Quelle est cette richesse maximale ?
4. En un point quelconque M(v, h), quelle est la direction dans
laquelle la fonction NBI varie le plus vite (ou direction de plus grande
pente) ?
Quelle est la valeur f(v, h) de cette variation maximale (ou valeur de la
plus grande pente) ?
5. Étudiez les extrémums de la fonction f définie dans la question
précédente.
6.11 Le retour des oiseaux
Dans l’exercice 1.14, nous nous sommes déjà intéressés aux oiseaux
des îles Salomon. Avec les mêmes données, on peut modéliser le
nombre d’espèces d’oiseaux NBO par la fonction définie par :
où S est la surface en miles
2 et D la distance en miles.
= + +
2
y a bx cx
= − ,
+ ,
− ,
+ ,
+ ,
.
2
2
0 466 5
2 960 9 0 006 55
0 346 25 1 087 25
NBI
v
v
h
h
= ,
− ,
+ ,
5 811ln
0 148
23 515
NBO
S
D
Chapitre 6 • Fonctions de plusieurs variables
En un point M 0 (x 0 , y 0 ), déterminez la direction dans laquelle la densité
de population croît le plus vite.
6.9 Ajustement d’une parabole à des points expérimentaux
Déterminez la parabole d’équation :
passant au plus près des points
(–2, 1), (–1, 0), (0, 0), (1, 1), (2, 2)
au sens des moindres carrés. On admet que le minimum existe.
6.10 Des insectes et leur habitat
Des espèces d’insectes ont été inventoriées dans plusieurs milieux sur
une colline calcaire, selon une échelle de dynamique végétale v depuis
la pelouse sèche écorchée (valeur : 1) jusqu’au-sous bois (valeur : 6),
et la hauteur h (en cm) de la végétation herbacée (entre 5 et 40 cm).
Le nombre NBI d’espèces d’insectes peut être modélisé par la fonction définie par :
1. Représentez cette fonction à l’aide d’un graphe en 3D.
2. Quelle est la valeur du milieu (combinaison de la valeur de
l’échelle de dynamique végétale et de la hauteur) où l’on attend la
plus grande richesse (le plus grand nombre d’espèces) ?
3. Quelle est cette richesse maximale ?
4. En un point quelconque M(v, h), quelle est la direction dans
laquelle la fonction NBI varie le plus vite (ou direction de plus grande
pente) ?
Quelle est la valeur f(v, h) de cette variation maximale (ou valeur de la
plus grande pente) ?
5. Étudiez les extrémums de la fonction f définie dans la question
précédente.
6.11 Le retour des oiseaux
Dans l’exercice 1.14, nous nous sommes déjà intéressés aux oiseaux
des îles Salomon. Avec les mêmes données, on peut modéliser le
nombre d’espèces d’oiseaux NBO par la fonction définie par :
où S est la surface en miles
2 et D la distance en miles.
= + +
2
y a bx cx
= − ,
+ ,
− ,
+ ,
+ ,
.
2
2
0 466 5
2 960 9 0 006 55
0 346 25 1 087 25
NBI
v
v
h
h
= ,
− ,
+ ,
5 811ln
0 148
23 515
NBO
S
D