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Chapitre 6 • Fonctions de plusieurs variables
6.5 OPTIMISATION D’UNE FONCTION DE DEUX VARIABLES
6.5.1 Généralités
• Définitions
Soit f une fonction numérique définie sur
.
f admet un maximum (resp. minimum) global en
si
f admet un maximum (resp. minimum) local en
s’il
existe une boule de rayon non nul
telle que :
• Exemple
Dans le cadre d’une modélisation, on peut être amené à introduire une
famille de fonctions qui dépendent de paramètres, par exemple :
où a, b, c sont les paramètres du modèle et t la variable.
On dispose par ailleurs de n points expérimentaux (t i , y i ) et on cherche les valeurs des paramètres qui rendent minimum la distance entre
le graphe de f(a, b, c,.) et l’ensemble des points.
Il s’agit d’un problème de minimisation.
Si on prend comme mesure de l’écart :
c’est la méthode des moindres carrés. Mais d’autres mesures de
l’écart sont possibles.
6.5.2 Extrémum local
• Condition nécessaire d’extrémum local
Si f présente un extrémum local en (x 0 , y 0 ) et possède des dérivées
partielles en ce point, alors :
2
D ⊂ \
,
∈
0
0
(
)
x y
D
0
0
0
0
( )
( )
(
) (resp ( )
(
)
x y D
f x y
f x y
f x y
f x y
∀ , ∈
,
,
.
,
,
ഛ
ജ
,
∈
0
0
(
)
x y
D
, , ⊂
0
0
((
) )
B x y r
D
0
0
0
0
( )
( )
(
) (resp ( )
(
))
x y B
f x y
f x y
f x y
f x y
∀ , ∈
,
,
.
,
,
ഛ
ജ
, , ,
(
)
t
f a b c t
6
=
; , =
−
, , ,
2
1
(
)
(
(
))
n
i
i
i
E a b c
y f a b c t
∑
∂
∂
,
=
,
=
,
= .
∂
∂
0
0
0
0
0
0
(
)
(
) 0
ouencore grad (
) 0
f
f
x y
x y
f x y
x
y
JJJJG
G