6.4 • Gradient et ses applications
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6.4.2 Cas de trois variables
Dans le cas de trois variables, le gradient de f au point (x 0 , y 0 , z 0 ) est le
vecteur :
,
,
Il est orthogonal à la surface de niveau passant par le point (x 0 , y 0 , z 0 ).
Si le gradient de f au point (x 0 , y 0 , z 0 ) est un vecteur non nul, l’équation
cartésienne du plan tangent en (x 0 , y 0 , z 0 ) à la surface f(x, y, z) = 0 est :
6.4.3 Vitesse de variation dans une direction
La dérivée de f en (x 0 , y 0 , z 0 ) dans la direction du vecteur
,
unitaire (c’est-à-dire de norme
) est :
Lorsque f est différentiable, cette limite existe et vaut :
Cette dérivée directionnelle est maximum dans la direction du
gradient et vaut alors
.
Sur les cartes d’état-major, le gradient indique la ligne de plus grand pente. Il est orthogonal aux lignes de niveau.
∂
, ,
0
0
0
(
)
f x y z
x
( ∂
∂
, ,
0
0
0
(
)
f x y z
y
∂
∂
, ,
.
0
0
0
(
)
f x y z
z
)
∂
∂
∂
, ,
−
+
, ,
−
∂
∂
0
0
0
0
0
0
0
0
(
) (
)
(
) (
)
f
f
x y z x x
x y z y y
x
y
∂
+
, ,
−
= .
∂
0
0
0
0
(
) (
) 0
f x y z z z
z
α β γ
, ,
(
)
u
α β γ
+ + =
2
2
2
1
α
β
γ
→
+ , + , +
−
, ,
, , =
⋅
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
(
) (
)
(
) lim
u
t
f x t y t z t
f x y z
D f x y z
t
, , =
, , ⋅
0
0
0
0
0
0
(
) g r a d (
)
u
D f x y z
f x y z u
JJJJG
α
β
γ
∂
∂
∂
=
, , +
, , +
, , .
∂
∂
∂
0
0
0
0
0
0
0
0
0
(
)
(
)
(
)
f
f
f
x y z
x y z
x y z
x
y
z
0
0
0
grad (
)
f x y z
, ,
JJJJG