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Chapitre 6 • Fonctions de plusieurs variables
La différentielle de f en (x 0 , y 0 ) est souvent notée :
où dx et dy sont les applications définies par dx(h, k) = h et dy(h, k) = k.
De façon analogue, dans le cas d’une fonction de trois variables
sa différentielle en (x 0 , y 0 , z 0 ) est :
6.3.3 Application au calcul approché
Notons ∆x et ∆y les écarts (supposés petits) des variables x et y au
voisinage de x 0 et y 0 . Alors l’écart
a pour valeur approchée :
Cette approximation se généralise à trois variables. Elle est utilisée
dans des calculs d’incertitude.
6.4 GRADIENT ET SES APPLICATIONS
6.4.1 Cas de deux variables
Soit
une fonction différentiable au point (x 0 , y 0 ). On
appelle gradient de f au point (x 0 , y 0 ) le vecteur :
,
Le gradient de f au point (x 0 , y 0 ) est orthogonal à la courbe de
niveau passant par le point (x 0 , y 0 ).
Si le gradient f au point (x 0 , y 0 ) est un vecteur non nul, l’équation
cartésienne de la tangente à la courbe de niveau f(x 0 , y 0 ) est :
,
∂
,
∂
,
=
+
.
∂
∂
0 0
0
0
0
0
(
)
(
)
(
)
d
d
d
x y
f x y
f x y
f
x
y
x
y
, ,
, , ,
(
)
(
)
x y z
f x y z
6
, ,
∂
, ,
∂
, ,
∂
, ,
=
+
+
.
∂
∂
∂
0 0 0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
(
)
(
)
(
)
(
)
d
d
d
d
x y z
f x y z
f x y z
f x y z
f
x
y
z
x
y
z
∆ =
+ ∆ , + ∆ −
,
0
0
0
0
(
) (
)
f f x
x y
y f x y
∂
∂
∆ ≈
∆ + ∆ .
∂
∂
f
f
f
x
y
x
y
2
f :
→
\
\
∂
,
0
0
(
)
f x y
x
( ∂
∂
,
.
0
0
(
)
f x y
y
)
∂
∂
∂
,
−
+
,
−
= .
∂
∂
0
0
0
0
0
0
(
)(
)
(
)(
) 0
f
f
x y x x
x y y y
x
y