6.3 • Différentielle
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6.3 DIFFÉRENTIELLE
6.3.1 Cas d’une fonction à une variable
Revenons aux fonctions réelles d’une variable réelle. On peut interpréter la dérivée de la fonction
en x 0 comme étant un
nombre
tel que le rapport :
tende vers 0 lorsque h tend vers 0.
Cela veut dire que le numérateur tend vers 0 plus vite que h.
Si l’on remplace
par
, l’erreur commise sur la
valeur de
, est égale à
.
En négligeant la quantité
, et en introduisant la notation
, l’erreur
peut donc être estimée par
.
La fonction définie par
est appelée différentielle de f
au point x 0 . On la note :
Si l’on introduit la notation
, l’égalité précédente se transforme en égalité de fonctions
.
6.3.2 Cas d’une fonction à deux variables
Une fonction
est différentiable en (x 0 , y 0 ) si les dérivées partielles
et
existent et vérifient la
condition :
La fonction, notée
et définie par :
est appelée différentielle de f en (x 0 , y 0 ).
( )
x
f x
6
′ 0
( )
f x
|
+ −
−
|
′
=
| |
0
0
0
(
) ( )
( )
( )
f x h f x
f x h
R h
h
+
0
(
)
f x h
0
( )
f x
+
0
(
)
f x h
∆
=
+ −
0
0
0
( )
(
)
( )
f x
f x h f x
( )
R h h
∆ =
x h
∆ 0
( )
f x
′ 0
( )
f x h
′ 0
( )
h
f x h
6
=
.
′
0
0
d ( )
( )
x
f h
f x h
=
d ( )
x h h
= ′
0
0
d
( )d
x
f
f x x
,
,
( )
( )
x y
f x y
6
α
∂
,
=
∂
0
0
(
)
f x y
x
0
0
(
)
f x y
y
β
∂
,
=
∂
α β
→
→
|
+ , + −
, − − | = .
| | + | |
0
0
0
0
0
0
(
) (
)
lim
0
h
k
f x h y k f x y
h
k
h
k
,
0 0
(
)
d x y
f
,
∂
,
∂
,
,
, =
+
∂
∂
0 0
0
0
0
0
(
)
(
)
(
)
( ) d
( )
x y
f x y
f x y
h k
f
h k
h
k
x
y
6