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Chapitre 6 • Fonctions de plusieurs variables
6.2.2 Dérivées partielles
Dérivées partielles d’ordre 1
On appelle dérivée partielle de la fonction f par rapport à la première
variable x, au point (x 0 , y 0 ), le nombre (s’il existe) :
De même, on définit la dérivée partielle par rapport à la seconde
variable y, en (x 0 , y 0 ) :
La définition d’une dérivée partielle repose sur l’accroissement
d’une seule variable. C’est donc une dérivée simple par rapport à cette
variable, l’autre restant fixe.
Par conséquent, toutes les techniques de calcul des dérivées ordinaires s’appliquent aux dérivées partielles.
Dérivées partielles d’ordre supérieur
Comme pour les fonctions d’une variable réelle, on peut définir des
dérivées partielles d’ordre supérieur à 1 pour les fonctions de
plusieurs variables. Les notations les plus utilisées sont :
En général, l’égalité
est vraie.
→
+ , −
,
∂
,
=
⋅
∂
0
0
0
0
0
0
0
(
) (
)
(
) lim
h
f x h y
f x y
f x y
x
h
→
, + −
,
∂
,
=
⋅
∂
0
0
0
0
0
0
0
(
) (
)
(
) lim
k
f x y k f x y
f x y
y
k
2
2
2
2
2
2
f
f
f
f
x x
x
y x
y x
f
f
f
f
x y
x y
y y
y
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂
=
;
=
;
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂
∂ ∂
∂
=
;
=
⋅
∂
)
(
)
)
(
(
( )
∂
∂
∂ ∂
∂
∂
∂
∂
=
∂ ∂
∂ ∂
2
2
f
f
y x
x y