6.5 • Optimisation d’une fonction de deux variables
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Un point vérifiant cette condition est appelé point critique, ou point
stationnaire, de f.
• Condition suffisante d’extrémum local
En un point critique (x 0 , y 0 ) où f admet des dérivées partielles secondes, posons :
On a alors :
➤ si S
2 – RT < 0, f présente un extrémum local en (x 0 , y 0 ) ; il s’agit
d’un maximum si R < 0 et d’un minimum si R > 0 ;
➤ si S
2 – RT > 0, f présente un point-selle (ou point-col) en (x 0 , y 0 ) ; ce
n’est pas un extrémum ;
Le mot col vient de l’exemple de la fonction altitude et de la configuration (idéalisée)
d’un col de montagne : minimum de la ligne de crête, maximum de la route, sans être
un extrémum du paysage.
Le mot selle vient de l’image d’une selle de cheval.
➤ si S
2 – RT = 0, on ne peut pas conclure à partir des dérivées
secondes.
• Étude directe
Après avoir déterminé un point critique (x 0 , y 0 ), on peut aussi étudier
directement le signe de la différence
Si cette différence est de signe constant pour h et k voisins de 0, il
s’agit d’un extrémum local (un maximum si D < 0, un minimum si
D > 0). Sinon, il s’agit d’un point-col.
Mieux, si le signe est constant sur tout le domaine de définition
de f, alors l’extrémum est global.
∂
∂
∂
=
,
;
=
,
;
=
, .
∂
∂∂
∂
2
2
2
0
0
0
0
0
0
2
2
(
)
(
)
(
)
f
f
f
R
x y
S
x y
T
x y
x
xy
y
, =
+ , + −
, .
0
0
0
0
( )
(
) (
)
D h k
f x h y k f x y