1.2 • Limites et dérivées
9
• Recherche des maximums et des minimums
Soit
une fonction dérivable sur l’intervalle ]a,b[.
➤ Si la fonction f admet un extrémum en
, alors
.
➤ Réciproquement, si en un point
,
et si la
dérivée
change de signe en passant par x 0 , alors la fonction f
admet un extrémum en x 0 .
Cet extrémum est un minimum si
est négative avant x 0 et un
maximum si est positive avant x 0 .
➤ Si la dérivée s’annule en x 0 sans changer de signe, alors la fonction f admet un point d’inflexion.
• Terminologie
Lorsque la fonction f traduit mathématiquement l’évolution d’un
phénomène (économique, démographique…), on parle de pic ou de
creux pour désigner un maximum ou un minimum local de f.
1.2.4 Étude des branches infinies
Pour terminer l’étude d’une fonction, il nous reste à étudier les branches infinies.
La représentation graphique d’une fonction f comporte une branche infinie au voisinage de x 0 , fini ou infini, si la distance du point
à l’origine tend vers l’infini lorsque x se rapproche de x 0 :
Trois cas peuvent en résulter.
• x 0 est fini et
; dans ce cas, la droite x = x 0 est une
asymptote verticale.
• x 0 est infini et
; dans ce cas, la droite y = c est une
asymptote horizontale.
• x 0 est infini et
; dans ce cas, on doit affiner l’étude.
➤ Si la limite
est finie, alors :
– ou bien, la limite
existe et la droite d’équation
est une asymptote oblique,
– ou bien, cette limite est infinie et l’on dit alors que la droite d’équation
définit une direction asymptotique.
: , →
[ ]
f a b
\
] [
∈
0
,
x
a b
=
′ 0
( ) 0
f x
] [
∈
0
,
x
a b
=
′ 0
( ) 0
f x
′
f
′
f
′
f
′
f
,
(
( ))
x f x
→
+
=+∞.
0
2
2
0
lim
( )
x x
x
f x
→
= ±∞
0
lim ( )
x x
f x
→
=
0
lim ( )
x x
f x c
→
= ±∞
0
lim ( )
x x
f x
→±∞
=
( )
lim
x
f x a
x
→±∞
lim
x
=
( )
f x b
= +
y ax b
=
y ax