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Chapitre 1 • Fonctions d’une variable réelle
En fixant les nombres x 0 et h, l’équation de la droite D h qui passe
par les points
et
est :
On remarque alors que lorsque h tend vers 0, la position limite de
la droite sécante D h est la tangente à ce graphe au point (a, f(a)). Elle
a donc pour équation :
.
• Signe de la dérivée et sens de variation d’une fonction
Soit
une fonction dérivable sur l’intervalle ]a,b[.
➤ Si (x) > 0 pour tout
, alors f est croissante sur [a,b] ;
➤ Si (x) < 0 pour tout
, alors f est décroissante sur [a,b] ;
➤ Si (x) = 0 pour tout
, alors f est constante sur [a,b].
• Dérivées successives
Supposons que la fonction
est dérivable et soit
, la fonction dérivée.
➤ Si la fonction
est continue, on dira que f est continûment dérivable.
➤ Si la fonction est dérivable, on dira que f est deux fois dérivable
et on note
la dérivée seconde :
.
Si de plus
est continue, on dira que f est deux fois continûment
dérivable.
➤ Ainsi, de proche en proche, on définit la dérivée n-ième de f
comme étant la dérivée de la fonction
. On la note
.
1.2.3 Application à l’étude des extrémums
• Définitions
➤ La fonction f, définie sur D f , admet un maximum (resp. minimum)
global en x 0 D f si :
pour tout
(resp.
).
➤ La fonction f admet un maximum (resp. minimum) local en x 0 D f ,
s’il existe un intervalle ouvert I, contenant x 0 , tel que :
pour tout
(resp.
.
Un maximum ou un minimum local est dit extrémum local.
,
0
0
(
( ))
x f x
+ ,
+
0
0
(
(
) )
x h f x h
+ −
=
+
− .
0
0
0
0
(
)
( )
( )
(
)
f x h f x
y f x
x x
h
=
+
−
′
0
0
0
( )
( )(
)
y f x
f x x x
: , →
[ ]
f a b
\
′
f
] [
∈ ,
x a b
′
f
] [
∈ ,
x a b
′
f
] [
∈ ,
x a b
: , →
] [
f a b
\
: , →
′ ] [
f a b
\
′
f
′
f
′
f ′
=
′′
′ ′
( )
f
f
′
f ′
−
( 1)
n
f
( )
n
f
∈
∈
0
( )
( )
f
x D
f x
f x
ഛ
0
( )
( )
f x
f x
ജ
∈
∈ ∩
0
( )
( )
f
x I D
f x
f x
ഛ
0
( )
( ))
f x
f x
ജ