1.2 • Limites et dérivées
7
,
,
,
,
,
,
,
,
.
1.2.2 Dérivée d’une fonction
• Définition
Soit
une fonction définie sur l’intervalle [a,b]. Elle est
dérivable en
si le quotient :
admet une limite quand h tend vers 0.
Cette limite, quand elle existe, est notée
, ou
.
Lorsque f est dérivable en tout point x de ]a,b[, on dit que f est dérivable et on note la fonction dérivée ainsi définie sur l’intervalle ]a,b[.
Dans les sciences expérimentales, la variation h de la variable x est souvent
notée ∆x.
• Règles de calcul
Pour deux fonctions f et g convenablement définies et λ un nombre
réel, on a :
• Signification géométrique de la dérivée
Rappelons que l’équation de la droite qui passe par deux points
(a, f(a)) et (b, f(b)), avec a ≠ b, est :
→+∞
lim l
x
= +∞
e
m x
x
→+∞
lim l
x
∞
= +∞
e
m
x
m
x
−
→
=
0
lim e
0
m
x
x
x
→+∞
lim l
x
= +∞
ln( )
m
x
x
→+∞
lim l
x
∞
=
ln( )
m
0
m
x
x
→
=
0
lim ln( ) 0
m
x
x
x
→
=
0
sin
lim
1
x
x
x
→
− =
0
e 1
lim
1
x
x
x
→
+ =
0
ln(1 )
lim
1
x
x
x
: , →
[ ]
f a b
\
] [
∈
0
,
x
a b
+ −
0
0
(
)
( )
f x h f x
h
′ 0
( )
f x
0
d ( )
d
f x
x
′
f
+
=
+
′
′
′
[ ( ) ( )]
( )
( )
f x g x
f x g x
=
+
′
′
′
[ ( ) ( )]
( ) ( )
( ) ( )
f x g x
f x g x f x g x
λ
λ
=
′
′
[ ( )]
( )
f x
f x
−
′
′
=
2
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )
f x
f x g x f x g x
g x
g x
]
[
=
′
′
′
(
) ( )
( ( )) ( )
g f x g f x f x
D
−
=
+
− .
−
( )
( )
( )
(
)
f b f a
y f a
x a
b a