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Chapitre 1 • Fonctions d’une variable réelle
propriétés suivantes :
;
;
.
La fonction exponentielle est strictement croissante.
• Logarithme de base a
La fonction logarithme de base a (a > 0 et a ≠ 1), est définie par :
Sa dérivée est :
Ses propriétés algébriques sont les mêmes que celles de la fonction ln.
Si a = 10, log a est le logarithme décimal. On le note log.
• Exponentielle de base a
La fonction exponentielle de base a (a > 0), est la fonction définie par :
Pour a ≠ 1, c’est la fonction réciproque de la fonction log a .
.
Sa dérivée est :
.
Remarquez bien qu’ici, la variable est en exposant.
Ses propriétés algébriques sont les mêmes que celles de la fonction
exp.
1.2 LIMITES ET DÉRIVÉES
1.2.1 Limites remarquables d’une fonction
Le calcul des limites des fonctions courantes utilise souvent celles qui
suivent (où
N
* ) :
∀ ∈
=
′
(e ) e
x
x
x \
→−∞
=
lim e 0
x
x
;
→−∞
=
lim e 0
x
x
→+∞
;
=+∞
0 lim e
x
x
∀ ∈
∀ ∈
∀ ∈
a
b
r
\
\
_
+
−
−
= × ;
=
;
= ;
= ⋅
1
e
e
e e
e
(e )
e
e
e
e
a
a b
a
b
ra
a r
a
a b
a
b
∀ >
=
⋅
ln
0
log ( )
ln
a
x
x
x
a
=
× ⋅
′
1
1
(log )
ln
a x
a x
∀ ∈
= =
.
ln
exp ( )
e
x
x a
a
x
x a
\
= ⇐ ln
ln
log ( )
x
a
y a
y x a
x
y
⇔
⇔
=
=
=
×
′
( ) ln
x
x
a
a a
∈
m
→+∞
lim l
x
= +∞,
m
x
→
= +∞
0
1
lim m
x
x
→+∞
lim l
x
= ,
1 0
m
x