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Bien entendu, vous observez une baisse du taux d’accroissement attendu, puisqu’il
y a eu baisse de la fécondité.
5.10 1. La matrice de Leslie de cette population de poissons s’écrit :
Les valeurs propres de M sont les racines du polynôme caractéristique :
Il est facile de vérifier qu’il n’y a qu’une valeur propre réelle et
qu’elle est positive.
Le signe de la dérivée
permet de
dresser le tableau de variation :
La fonction
s’annule bien une seule fois en une valeur
positive. Par encadrement, on obtient λ = 3,34.
S’agissant d’une matrice de Leslie, ce résultat entraîne que l’effectif
sera croissant, avec un taux d’accroissement qui se rapproche
progressivement de 3,34.
2. On passe de la matrice colonne X n des effectifs à l’année n à la
matrice colonne X n+1 des effectifs à l’année n + 1 en calculant le
produit matriciel X n+1 = MX n .
On obtient ainsi successivement :
λ
0
P’
–
0
+
0
–
P
P
N
P
30
année 1
année 2
année 3
année 4
classe 1
1000
10 000 000
12 500 000
8 155 000
classe 2
1000
5
50 000
62 500
classe 3
1000
1250
815,5
30 530
= ,
,
,
0
0 10 000
0 005 0
0
0
0 6 0 65
M
(
)
λ
λ
λ
λ
λ
λ
−
= ,
−
= − + ,
+ .
,
, −
3
2
0
10 000
( ) 0 005
0
0 65
30
0
0 6 0 65
P
λ
λ
λ λ λ
= −
+ , = − + ,
′
2
( )
3
1 3
( 3 1 3)
P
1,3
3
------- -
+∞
−∞
λ
λ
( )
P
6