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Chapitre 5 • Réduction des matrices
5.9 1. Dans la mesure où le sex-ratio est équilibré, pour chaque
femelle en vie, il y a 5 naissances de femelles la deuxième année et 9
la troisième année. La matrice de Leslie de la population des femelles
s’écrit donc :
2. En effectuant le produit matriciel de M par les matrices colonnes
successives, on obtient :
3. Le polynôme caractéristique de la matrice M est :
Ses racines sont les valeurs propres de M. L’étude des variations de la
fonction
montre qu’il n’y a qu’une valeur propre réelle
, les autres étant complexes conjuguées.
D’après la signification de cette valeur propre dans le cas des matrices
de Leslie, le taux d’accroissement annuel va devenir voisin de λ.
4. Avec l’hypothèse sur la baisse de fécondité, la matrice de Leslie
devient :
Le polynôme caractéristique devient :
La plus grande valeur propre positive devient
, ce qui est le
nouveau taux annuel d’accroissement attendu au bout de quelques
années.
âges
année 1
année 2
année 3
année 4
année 5
1
50
555
275,5
1227
1849,7
2
30
20
222
110,2
490,8
3
45
19,5
13
144,3
71,6
= ,
,
0
5
9
0 4
0
0
0 0 65 0
M
( )
λ
λ
λ
λ
λ
λ
−
= ,
−
= − + + , .
,
−
3
5
9
( ) 0 4
0
2
2 34
0 0 65
P
λ
λ
( )
P
6
λ ≈ ,
1 81
=
0
4
7,2
0, 4
0
0
0 0,65 0
N
( )
λ
λ
λ
= − + , + ,
.
3
( )
1 6 1 872
P
λ ≈ ,
1 653