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Chapitre 5 • Réduction des matrices
On obtient donc le système différentiel linéaire à coefficients constants, avec des conditions initiales :
2. Comme dans la question précédente, en examinant pour chaque
compartiment les sorties et les entrées provenant des autres
compartiments, on obtient le système différentiel linéaire à coefficients
constants :
avec les conditions initiales :
Remarquons par ailleurs que, pour que les volumes des compartiments restent
constants,les débits doivent vérifier les conditions :
d 01 = d 13 + d 12 ; d 12 + d 32 = d 23 ; d 13 + d 23 = d 30
5.8 1. Comme la matrice est carrée d’ordre 4, il y a 4 classes d’âge.
2. Les femelles de première année ne se reproduisent pas, celles de
deuxième année produisent 1 femelle, celles de troisième année
1, 2 femelles et celles de 4 ans et plus, 2 femelles.
3. Les taux de survie sont de :
50 % pour les femelles de première année,
80 % pour les femelles de deuxième année,
90 % pour les femelles de troisième année,
95 % pour les femelles de quatre ans et plus.
4. Le taux d’accroissement s’obtient en calculant le rapport entre
l’effectif de l’année n + 1 et l’effectif de l’année n.
= −
=
=
=
−
1
1
1
1
2
2
1
2
1
2
' ( )
( )
(0)
avec
(0) 0
' ( )
( )
( )
d
Q t
Q t
V
Q
q
Q
d
d
Q t
Q t
Q t
V
V
{
= −
1
1
1
' ( )
( )
d
Q t
Q t
V
Q 1 ′
Q 2 ′
{
= −
+
=
−
+
=
+
−
13
12
1
1
1
1
23
32
12
2
1
2
3
1
2
3
13
23
32
3
1
2
3
1
2
3
' ( )
( )
'()
()
()
()
' ( )
( )
( )
( )
d
d
Q t
Q t
V
V
d
d
d
Q t
Q t
Q t
Q t
V
V
V
d
d
d
Q t
Q t
Q t
Q t
V
V
V
= −
+
13
12
1
1
1
1
' ( )
( )
d
d
Q t
Q t
V
V
( )
Q 1 ′
Q 2 ′
Q 3 ′
=
;
=
;
= .
1
2
3
(0)
(0) 0
(0) 0
Q
q
Q
Q