Solutions
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c’est-à-dire que la suite auxiliaire u n + v n + w n est constante, soit :
Considérons la valeur propre –2 et transformons l’écriture de (S) :
On en déduit par soustraction que :
c’est-à-dire que la suite auxiliaire u n – v n est géométrique de raison –2,
soit :
et de la même manière :
Des trois égalités obtenues, on déduit les expressions de u n , v n et w n .
5.7 1. Si le mélange du pesticide dans les eaux du premier lac est
instantané, la concentration du pesticide est
On peut en déduire que la quantité de pesticide perdue par le premier
lac se fait à la vitesse :
Vérifions la cohérence des unités :
Q 1 (t) est en g ; t est en h ; d est en L.h
–1 ; V 1 est en L.
Le second membre est donc en : (L.h
–1
).(L
–1
).g = g.h
–1
,
ce qui est bien l’unité de Q 1 (t) ≈
.
Pour le second compartiment, l’évolution de Q 2 (t) dépend positivement de l’entrée et négativement de la sortie, soit :
+ + = + + .
0
0
0
n
n
n
u v w u v w
+
+
+
+
=
+ +
∀ ∈
+
=
+ +
+
=
+ +
1
1
1
2
2
2
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
u
u
u v w
n
v
v
u v w
w
w
u v w
`
{
+
+
−
= −
−
1
1
( 2)(
)
n
n
n
n
u
v
u v
− =
−
− ,
0
0
(
)( 2)
n
n
n
u v
u v
− =
−
− .
0
0
(
)( 2)
n
n
n
u w
u w
⋅
1
1
( )
Q t
V
= −
⋅
1
1
1
( )
( )
Q t
Q t
d
V
∆Q 1
∆t
--------- -
=
−
⋅
1
2
2
1
2
( )
( )
' ( )
Q t
Q t
Q t d
d
V
V