Solutions
125
La matrice A admet donc les valeurs propres 1 (simple) et –2 (double).
• Méthode par diagonalisation de A
L’espace propre E 1 associé à la valeur propre 1 est l’ensemble des
vecteurs
de R
3 qui vérifient le système
, soit :
E 1 est donc la droite admettant pour base le vecteur propre
.
L’espace propre E –2 associé à la valeur propre –2 est l’ensemble des
vecteurs
de R
3 qui vérifient le système
, soit :
E –2 est donc un plan, ce qui prouve que A est diagonalisable puisque
l’espace propre associé à la valeur propre double est de dimension 2.
Ce plan admet pour base les vecteurs propres
et
.
λ
λ
λ
λ
λ
−
= −
− −
+ +
−
− −
1
2
3
1
1
1
1
1
1
1
avec
misen
1
1
1
C C C
C
λ
λ
λ
λ
= −
− −
−
− −
1
1
1
1
(1 ) 1 1
1
avec 1
mis en facteur dans
1
1
1
C
λ
λ
λ
= −
− −
−
−
− −
2
1
1
3
1
3
1
1
1
(1 ) 0
2
0
avec
en et
en
0
0
2
C C
C C C
C
λ
λ
= − −
+
2
( 1)(
2)
= , ,
(
)
X x y z
=
AX X
− + + =
− + =
⇐
+ − =
x y z x
x y z y
x y z
x y z z
⇔
{
= =
1
1
1
1
V
( )
= , ,
(
)
X x y z
= −2
AX
X
− + + = −
− + = −
⇐
+ − = −
2
2
0
2
x y z
x
x y z
y
x y z
x y z
z
⇔
{
+ + =
−
2
1
1
0
V
( ) −
3
1
0
1
V
( )