124
Chapitre 5 • Réduction des matrices
E 3 est donc la droite admettant pour base le vecteur propre
.
On peut donc choisir :
Le système différentiel (S) peut alors s’écrire :
.
En posant
le système devient :
On revient aux fonctions cherchées avec
, soit :
5.6 Cet exercice est analogue à la résolution d’un système différentiel, mais avec le temps pensé en discret et non en continu.
Notons
et
Le système (S) s’écrit :
. Comme la matrice A ne dépend pas
de n, on passe d’un indice au suivant en multipliant toujours par A.
On obtient donc
, et nous sommes conduit à calculer A
n
.
Déterminons les valeurs propres de A. Le polynôme caractéristique de
A est :
3
1
1
0
V
( )
−
=
−
1 1 1
1
1 1
2 1 0
P
( )
−
−
−
=
⇔
=
′
′
1
1
1
( )
( ) (
) ( )
(
)( )
X t PDP X t
P X t D P X t
⇔
−
=
=
1
1
2
3
y
Y P X y
y
( )
−
= −
=
=
⇐
=
=
1
1
1
1
2
2
2
2
2
3
3
3
3
3
( )
( )
( )
e
( ) 2 ( )
( )
e
( ) 3 ( )
( )
e
t
t
t
y t
y t
y t K
y t
y t
y t
K
y t
y t
y t
K
⇔
{
{
=
=
( )
( )
X t PY t
−
−
−
= −
+
+
=
−
+
=
+
2
3
1
2
3
2
3
1
2
3
2
1
2
( )
e
e
e
( )
e
e
e
( )
2 e
e
t
t
t
t
t
t
t
t
x t
K
K
K
y t
K
K
K
z t
K
K
{
=
n
n
n
n
u
X
v
w
( )
−
=
−
−
1 1 1
1
1 1
1 1
1
A
)
(
+ =
1
n
n
X
AX
=
0
n
n
X
A X
λ
λ
λ
λ
λ
− −
=
−
=
− −
− −
3
1
1
1
( ) det(
)
1
1
1
1
1
1
P
A I