Solutions
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La matrice A admet trois valeurs propres distinctes –1, 2, 3. Elle est
donc diagonalisable. On peut donc écrire
où
et P va s’écrire en juxtaposant des vecteurs propres
associés aux valeurs propres, dans le même ordre que celui adopté
pour écrire D.
L’espace propre E –1 associé à la valeur propre –1 est l’ensemble des
vecteurs
de R
3 qui vérifient le système
, soit :
E –1 est donc la droite admettant pour base le vecteur propre
.
L’espace propre E 2 associé à la valeur propre 2 est l’ensemble des
vecteurs
de R
3 qui vérifient le système
, soit :
E 2 est donc la droite admettant pour base le vecteur propre
.
L’espace propre E 3 associé à la valeur propre 3 est l’ensemble des
vecteurs
de R
3 qui vérifient le système
, soit :
λ
λ
λ λ
λ
= −
−
− − − − + − −
2
(2
) 1 1 (2
)
(2
)
λ λ
λ
λ
λ
λ
= −
−
+
− = − − + +
2
2
(
2) 3(
2) (
2)(
2
3)
λ
λ
λ
= − −
+
− .
(
2)( 1)( 3)
−
=
1
A PDP
−
=
1 0 0
0 2 0
0 0 3
D
( )
= , ,
(
)
X x y z
= −
AX
X
+ + = −
= −
+ − = −
⇐
=
− = −
1
2
2
2
1
2
x y z
x
x
z
x
y z
y
y
z
x y
z
⇔
{
{
−
1
1
1
2
V
( )
= , ,
(
)
X x y z
= 2
AX
X
+ + =
=
+ − =
⇐
= −
− =
2
2
2
2
2
x y z
x
x z
x
y z
y
y
z
x y
z
⇔
{
{
−
2
1
1
1
V
( )
= , ,
(
)
X x y z
= 3
AX
X
+ + =
=
+ − =
⇐
=
− =
2
3
2
3
0
3
x y z
x
x y
x
y z
y
z
x y
z
⇔
{
{