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Chapitre 5 • Réduction des matrices
La détermination de K 1 et de K 2 avec les conditions initiales x 0 et y 0 se
fait comme dans la méthode précédente.
• Méthode des combinaisons linéaires indépendantes
Après avoir déterminé les valeurs propres λ 1 = 3 et λ 2 = –3 de la matrice
A avec son polynôme caractéristique, considérons ces valeurs l’une
après l’autre.
Avec λ 1 , nous pouvons transformer le système (S) :
Avec la combinaison linéaire
, on en déduit :
équation facile à résoudre pour obtenir 4x + y.
Avec λ 2 , nous pouvons transformer le système (S) :
Avec la combinaison linéaire 2L 1 – L 2 , on en déduit :
équation facile à résoudre pour obtenir 2x – y.
Connaissant 4x + y et 2x – y, on en déduit x et y, et on termine comme
dans les autres méthodes.
5.5 Par rapport à l’exercice précédent, comme il y a trois fonctions
inconnues au lieu de deux, seule la méthode algébrique de diagonalisation se prolonge.
En notant :
le système différentiel (S) s’écrit matriciellement :
Déterminons les valeurs propres de A. Le polynôme caractéristique de
A est :
−
= −
+
−
′
−
=
−
−
′
( ) 3 ( )
2 ( ) ( ) 3
( ) 3 ( )
8 ( ) 4 ( ) 15
x t
x t
x t y t
y t
y t
x t
y t
{
+
1
2
4L L
+ −
+ = −
′
(4
) 3(4
)
27
x y
x y
+
=
+
−
′
+
=
+
−
′
( ) 3 ( )
4 ( ) ( ) 3
( ) 3 ( )
8 ( ) 2 ( ) 15
x t
x t
x t y t
y t
y t
x t
y t
{
− +
− =
′
(2
) 3(2
) 9
x y
x y
=
=
−
−
( )
2 1 1
( )
( )
1 2
1
( )
1
1 0
x t
X t
y t
A
z t
( )
( )
=
.
′( )
( )
X t A X t
λ
λ
λ
λ
λ
−
=
−
=
−
−
−
−
3
2
1
1
( ) det(
)
1
2
1
1
1
P
A I