Solutions
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E 3 est donc la droite admettant pour base le vecteur propre
L’espace propre E –3 associé à la valeur propre –3 est l’ensemble des
vecteurs
de R
2 qui vérifient le système
, soit :
E 3 est donc la droite admettant pour base le vecteur propre
La matrice de passage de la base canonique
à la nouvelle base
est :
Sa matrice inverse P
–1 peut se calculer en résolvant un système
linéaire :
soit :
On peut écrire alors
avec
Et le système (S) devient :
En posant
, comme
, le système se réduit à :
Puis on revient aux fonctions de départ :
.
1
1
2
V ( )
= ,
( )
X x y
= −3
AX
X
{
+ = −
⇐
− = −
3
4
0
8
3
x y
x
x y
x y
y
⇔
{
+ =
.
2
1
4
V ( )
–
,
1 2
(
)
e e
,
1
2
(
)
V V
=
.
1 1
2
4
P
)
( –
=
+
+
=
⇐
−
=
=
−
1 (4
)
6
2 4
1
2
( 2
)
6
x
a b
x y
a
x
y
b
y
a b
⇔
{
{
−
=
.
1
4 1
1
6 2
1
P
)
( –
−
=
1
A PDP
=
.
3 0
0
3
D ( )
–
−
−
−
−
=
+ ⇐
′
′
1
1
1
1
( )
( )
(
) ( )
(
)( )
X t PDP X t B
P X t D P X t P B
+
=
⇔
−
=
1
1
2
z
P X
z
( )
−
−
=
1
3
3
2 1
P B
)
(
−
=
−
=
+
′
⇐
= −
+
=
+
′
3
1
1
1
1
3
2
2
2
2
9
3
( ) 3 ( )
( )
e
2
2
3
1
( )
3 ( )
( )
e
2
2
t
t
t
z t
z t K
z
t
z t
z t K
z
⇔
{
{
−
−
−
+
+
+
=
=
=
−
+
+
3
3
3
1
1
2
3
3
3
1
2
2
3
e
( )
1 1
e
e
2
2
( )
( )
2 4
1
2 e
4 e
1
e
2
t
t
t
t
t
t
K
x t
K
K
X t
y t
K
K
K
( )
( )
(
)
(
–
)