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Chapitre 5 • Réduction des matrices
L’équation caractéristique
admet deux racines réelles
distinctes
et
.
Comme, de plus, la fonction constante
est solution, l’équation (E) admet pour solution générale :
En reportant dans la première équation du système (S), on obtient :
Les conditions initiales s’écrivent :
On obtient ainsi la solution :
• Méthode par diagonalisation de la matrice
En notant :
le système différentiel (S) s’écrit matriciellement :
Déterminons les valeurs propres de A. Le polynôme caractéristique de
A est :
La matrice A admet deux valeurs propres distinctes
et
.
Elle est donc diagonalisable.
L’espace propre E 3 associé à la valeur propre 3 est l’ensemble des
vecteurs
de R
2 qui vérifient le système
, soit :
− =
2
9 0
r
=
1
3
r
= −
2
3
r
=
( ) 2
x t
−
=
+
+ .
3
3
1
2
( )
e
e
2
t
t
x t K
K
−
=
−
+ =
−
+ .
′
3
3
1
2
( )
( ) ( ) 3 2 e
4 e
1
t
t
y t x t x t
K
K
=
+ −
= + +
⇐
=
−
+
=
− −
1
0
0
0
1
2
0
1
2
2
0
0
1 (4
9)
2
6
2
4
1
1 (2
3)
6
K
x y
x K K
y
K
K
K
x y
⇔
{
{
−
−
=
+ −
+
− −
+
=
+ −
−
− −
+
3
3
0
0
0
0
3
3
0
0
0
0
1
1
( )
(4
9) e
(2
3) e
2
6
6
1
2
( )
(4
9) e
(2
3) e
1
3
3
t
t
t
t
x t
x y
x y
y t
x y
x y
{
−
=
=
=
( )
1 1
3
( )
( )
8 1
15
x t
X t
A
B
y t
(
(
( )
)
)
–
–
=
+ .
′( )
( )
X t A X t B
λ
λ
λ
λ
λ λ
λ
−
=
−
=
= − − − = − .
− −
2
2
1
1
( ) det(
)
(1 )( 1 )
9
8
1
P
A
I
λ =
1
3 λ = −
2
3
= ,
( )
X x y
= 3
AX
X
{
+ =
⇐
− =
3
2
0
8
3
x y
x
x y
x y
y
⇔
{
=
–