Solutions
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5.3 • Le polynôme caractéristique de M s’écrit :
Les valeurs propres de A sont donc 1 (double) et –1.
• L’espace propre E 1 associé à la valeur propre 1 est l’ensemble des
vecteurs
de R
3 qui vérifient le système
, soit :
E 1 est donc un plan.
On peut donc trouver une base de R
3 formée de vecteurs propres de M
(deux dans le plan E 1 et un dans la droite E –1 ) ;
• La matrice M est donc diagonalisable, c’est-à-dire qu’il existe une
matrice de passage P telle que
avec
On a alors
avec
Si n est pair, on a
, puis
.
Si n est impair, on a
, puis
.
5.4 • Méthode de substitution
Dérivons la première équation par rapport à t, puis substituons
successivement la première équation, puis la seconde :
On obtient après simplication :
Il s’agit d’une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants.
λ
λ
λ
λ
λ
λ
−
=
− −
− =− −
+ .
−
2
1
4
2
( )
0
3
2
(1 ) (1 )
0
4
3
P
= , ,
(
)
X x y z
=
MX X
+
=
−
−
=
⇐
+
=
4
2
0
4
2
0
2
0
4
2
0
y
z
y
z
y z
y
z
{
⇔
+ =
−
=
1
A PDP
=
.
−
1 0 0
0 1 0
0 0 1
D
( )
−
=
1
n
n
A PD P
=
.
−
1 0
0
0 1
0
0 0 ( 1)
n
n
D
( )
= 3
n
D I
= 3
n
A I
=
n
D D
=
n
A
A
=
+
′′
′
′
( )
( )
( )
x t x t y t
=
+
−
−
′( ) 8 ( ) ( ) 15
x t
x t y t
=
+
−
−
+ − .
′
′
( ) 8 ( ) [ ( ) ( ) 3] 15
x t
x t
x t x t
−
=−
′′( ) 9 ( )
18
( )
x t
x t
E