Solutions
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deuxième année sans reproduction, les adultes reproductrices d’au
moins deux ans.
On suppose que le taux de survie est de 0,005 pour la première classe,
de 0,60 pour la deuxième et de 0,65 pour la plus âgée.
Chaque femelle de la classe reproductrice produit en moyenne 10 000
alevins femelles par an.
1. Établissez la matrice de Leslie de cette population.
Calculez sa valeur propre réelle. Que pouvez-vous en déduire du
point de vue de la variation de l’effectif total ?
2. Si dans la population de départ on a 1000 individus dans chaque
classe d’âge, calculez les effectifs successifs de ces classes au cours
de quatre ans.
3. Mêmes questions si toutes les femelles âgées de plus de deux ans
meurent après leur reproduction.
4. Comment évoluerait la population face à une pollution chronique
qui entraînerait une fécondité divisée par 5 (avec des femelles vivant
trois ans au plus) ?
SOLUTIONS
5.1 • Le polynôme caractéristique de M s’écrit :
Les valeurs propres de M sont donc 1 et 3.
• L’espace propre E 1 associé à la valeur propre 1 est l’ensemble des
vecteurs
de R
2 qui vérifient le système
, soit :
E 1 est donc la droite admettant pour base le vecteur propre
.
• L’espace propre E 3 associé à la valeur propre 3 est l’ensemble des
vecteurs
de R
2 qui vérifient le système
, soit :
λ
λ
λ
λ
λ
λ
λ
−
=
= − + = −
−
−
−
2
0
3
( )
4
3 ( 1)( 3)
1 4
P
= ,
( )
X x y
=
MX X
=
⇐
−
+
=
3
3
4
y
x
x
y
x
y
y
{
⇔
=
+ 4
3
1
 
 
 
= ,
( )
X x y
= 3
MX
X
=
⇔
= .
−
+
=
3
3
4
3
y
x
x y
x
y
y
{
⇔