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Chapitre 5 • Réduction des matrices
Pour cette matrice, la plus grande valeur propre positive est :
avec comme vecteur propre associé :
1. Combien y a-t-il de classes d’âges ?
2. Combien de femelles sont produites par chaque classe d’âge ?
3. Quel est le taux de survie de chaque classe d’âge ?
4. Soit deux populations d’effectif total 200 chacune, dont la structure
diffère au départ.
Dans la population 1, les effectifs sont équilibrés et comptent 50 individus par classe.
Dans la population 2, il n’y a que des individus de la première classe.
Comment varie le taux d’accroissement en fonction du temps ?
Montrez que ce taux converge bien vers la plus grande valeur propre
positive dans les deux cas.
5. Montrez que la structure de la population à l’année 10 est proportionnelle au vecteur propre réel.
5.9 Les rongeurs de Leslie
On considère une population de rongeurs qui ont une durée de vie de
trois ans et on suppose que le sexe ratio est équilibré.
Les femelles ne sont pas fécondes la première année et chacune des
femelles en vie donne 10 naissances durant sa deuxième année et
18 durant sa troisième année.
Le taux de survie d’un rongeur est de 40 % la première année et de
65 % la deuxième année.
1. Établissez la matrice de Leslie M de cette population.
2. Si la population initiale de femelles est constituée de 50 jeunes,
30 de deux ans et de 45 de trois ans, calculez l’effectif des différentes
classes d’âge de femelles au cours des quatre ans à venir, ainsi que
l’effectif total.
3. Quel est le taux d’accroissement attendu de cette population ?
4. Si un pesticide étendu dans l’environnement diminue la fécondité
de 20 % pour chacune des classes d’âge, comment varie le taux
d’accroissement ?
5.10 Population de poissons
Dans une population de poissons, on subdivise les femelles en classes
d’âges : les jeunes de première année (alevins), les juvéniles de
λ = ,
1 404 035 459
,
,
,
0 867 185 91
0 308 819 09
0 175 960 85
0 348 793 83
(
0,867 185 91
0,308 819 09
0,175 960 85
0,348 793 83
)
Chapitre 5 • Réduction des matrices
Pour cette matrice, la plus grande valeur propre positive est :
avec comme vecteur propre associé :
1. Combien y a-t-il de classes d’âges ?
2. Combien de femelles sont produites par chaque classe d’âge ?
3. Quel est le taux de survie de chaque classe d’âge ?
4. Soit deux populations d’effectif total 200 chacune, dont la structure
diffère au départ.
Dans la population 1, les effectifs sont équilibrés et comptent 50 individus par classe.
Dans la population 2, il n’y a que des individus de la première classe.
Comment varie le taux d’accroissement en fonction du temps ?
Montrez que ce taux converge bien vers la plus grande valeur propre
positive dans les deux cas.
5. Montrez que la structure de la population à l’année 10 est proportionnelle au vecteur propre réel.
5.9 Les rongeurs de Leslie
On considère une population de rongeurs qui ont une durée de vie de
trois ans et on suppose que le sexe ratio est équilibré.
Les femelles ne sont pas fécondes la première année et chacune des
femelles en vie donne 10 naissances durant sa deuxième année et
18 durant sa troisième année.
Le taux de survie d’un rongeur est de 40 % la première année et de
65 % la deuxième année.
1. Établissez la matrice de Leslie M de cette population.
2. Si la population initiale de femelles est constituée de 50 jeunes,
30 de deux ans et de 45 de trois ans, calculez l’effectif des différentes
classes d’âge de femelles au cours des quatre ans à venir, ainsi que
l’effectif total.
3. Quel est le taux d’accroissement attendu de cette population ?
4. Si un pesticide étendu dans l’environnement diminue la fécondité
de 20 % pour chacune des classes d’âge, comment varie le taux
d’accroissement ?
5.10 Population de poissons
Dans une population de poissons, on subdivise les femelles en classes
d’âges : les jeunes de première année (alevins), les juvéniles de
λ = ,
1 404 035 459
,
,
,
0 867 185 91
0 308 819 09
0 175 960 85
0 348 793 83
(
0,867 185 91
0,308 819 09
0,175 960 85
0,348 793 83
)