Mots clefs
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Nous sommes ramenés à la résolution de n équations différentielles
scalaires vue dans le chapitre 2.
Connaissant la solution générale Y(t) de ce système, on en déduit la
solution générale de (S) :
MOTS CLEFS
➤ Valeur propre
➤ Vecteur propre
➤ Système différentiel linéaire
=
.
( )
( )
X t PY t
Équations aux différences finies
Par des observations à intervalles de temps réguliers, on passe du
temps continu au temps discret. Les fonctions deviennent des suites. Mais comment obtient-on des suites récurrentes à la place des
équations différentielles et des systèmes différentiels ?
On introduit des différences dites finies :
La modélisation du phénomène conduit à une relation entre ces différences finies.
On a
.
Cela veut dire que, si le modèle est linéaire et s’arrête à l’ordre 2 et
si on note
,
et
, il existe deux
constantes α et β telles que
et on obtient une
équation de récurrence linéaire d’ordre 2.
Vous pouvez aussi remarquer que,
– dans le cas continu, la forme de référence des solutions de l’équation différentielle
est
et leur comportement,
lorsque t tend vers l’infini, dépend de la comparaison de k à 0 ;
– dans le cas discret, la forme de référence des solutions de la relation
de récurrence
est k
n et leur comportement,
lorsque n tend vers l’infini, dépend de la comparaison de k à 1.
−
−
∆
=
+ −
:
∆
=∆
+ −∆
:
∆
=∆
+ −∆
2
1
1
d'ordre 1:
( )
( 1)
( )
d'ordre 2
( )
( 1)
( )
d'ordre p
( )
( 1)
( )
p
p
p
Q t Q t
Q t
Q t
Q t
Q t
Q t
Q t
Q t
∆
=
+ −
+ −
+ −
2 ( ) [ ( 2)
( 1)] [ ( 1)
( )]
Q t
Q t
Q t
Q t
Q t
=
( ) n
Q t u
+
+ = 1
( 1) n
Q t
u
+
+ = 2
( 2) n
Q t
u
α
β
+
+
=
+
2
1
n
n
n
u
u
u
α
β
=
+
′′
′
x
x
x
−
e
kt
α
β
+
+
=
+
2
1
n
n
n
u
u
u
U
S
B