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Chapitre 5 • Réduction des matrices
• Écriture matricielle
En notant :
et
(S) s’écrit :
Dans ce système, on supposera que
sont les
coordonnées d’un point M(t) de R
n à l’instant t par rapport à la base
canonique.
• Systèmes homogènes
Si B(t) = 0, le système est dit homogène, sinon il est non homogène.
Le système
est le système homogène associé à (S).
• Solutions
On appelle solution du système différentiel (S) toute fonction vectorielle
, dérivable sur I, qui vérifie les équations
du système.
Résoudre (S) consiste à trouver (et exprimer) toutes les solutions de
ce système.
Si f est une solution particulière de (S), alors toute solution de (S)
s’écrit comme somme de la solution f et d’une solution du système
homogène associé. L’ensemble des solutions du système homogène
possède une structure d’espace vectoriel de dimension n.
5.4.3 Résolution des systèmes différentiels linéaires
Reprenons le système différentiel :
et limitons-nous au cas où la matrice A est diagonalisable.
Il existe alors une matrice diagonale D et une matrice de passage P
telle que
. En multipliant par la matrice inversible P
–1 les
deux membres du système (S), on obtient un système équivalent :
En considérant les fonctions vectorielles définies par
et
, ce système devient :
=
,
11
1
1
n
n
n n
a
… a
A
a
… a
#
#
( )
=
1 ( )
( )
( )
n
x t
X t
x t
#
( )
=
1 ( )
( )
( )
n
b t
B t
b t
#
( )
=
+
′( )
( )
( )
X t AX t B t
,
, ,
1
2
( ) ( )
( )
n
x t x t … x t
=
′( )
( )
X t AX t
=
, ,
1
( ) ( ( )
( ))
n
x t
x t … x t
=
+
′
( )
( )
( )
( )
S
X t AX t B t
−
=
1
A PDP
−
−
−
=
+
.
′
1
1
1
( )
( )
( )
P X t DP X t P B t
−
=
1
( )
( )
Y t P X t
−
=
1
( )
( )
C t P B t
=
+
.
′( )
( )
( )
Y t DY t C t