5.4 • Systèmes différentiels linéaires
111
5.4.1 Fonctions vectorielles
• Définition
Une fonction vectorielle à variable réelle est une application d’une
partie I de R dans R
n
.
La donnée d’une telle fonction vectorielle ϕ équivaut à celle de n
fonctions réelles
définies dans I.
• Exemples
➤ Les fonctions vectorielles f et g, à valeurs dans R
2 et définies sur R
par :
représentent respectivement un arc parabolique et le graphe de la
fonction
.
➤ Les fonctions vectorielles f et g, à valeurs dans R
2 et définies sur R
par :
représentent respectivement le cercle de centre (0,1) et de rayon 2 et
une spirale.
➤ La fonction vectorielle
où :
représente une hélice infinie suivant l’axe des z et dont la projection
sur le plan de coordonnées x et y est un cercle de centre l’origine et de
rayon 2.
5.4.2 Généralités
• Définition
Un système différentiel linéaire à coefficients constants est de la forme :
où
sont des fonctions (inconnues) réelles à variable réelle, a ij
(avec i et j entiers entre 1 et n) des constantes réelles, et b une fonction
vectorielle définie sur un intervalle ouvert I de R.
Ses solutions sont des fonctions vectorielles dont les composantes
vérifient les équations différentielles données.
, , ,
1 2
n
f f … f
−
−
=
,
;
=
,
2
( ) (cos cos )
( ) (e e )
t
t
f t
t
t
g t
t
− ln
x
x x
6
−
−
=
, +
;
=
,
( ) (cos 1 sin )
( ) (e cos e sin )
t
t
f t
t
t
g t
t
t
:
3
h \ 6 \
=
,
,
=
,
,
( ) ( ( ) ( ) ( )) (2cos 2sin 3 )
h t
x t y t z t
t
t t
=
+ +
+
′
=
+ +
+
′
1
11 1
1
1
1 1
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
( )
n n
n
n
n n n
n
t
a x t
a x t
b t
x
S
t
a x t
a x t
b t
x
"
#
#
#
#
"
{
1
n
, ,
1
n
x … x