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Chapitre 5 • Réduction des matrices
Pour analyser la dynamique de la population des ours, l’écriture
diagonale de la matrice n’est pas commode car d’une part, elle
contient des nombres complexes difficiles à interpréter et d’autre part,
la base de diagonalisation est aussi complexe, donc aussi difficile à
représenter géométriquement.
Pour surmonter ces difficultés, choisissons une base où le rôle des
parties réelles et imaginaires des vecteurs et valeurs propres soit visible et facile à exploiter.
Pour chacun des deux couples de valeurs propres et de vecteurs
propres complexes conjugués, on peut écrire :
où α et β sont des nombres réels et V 1 et V 2 des vecteurs réels.
En réécrivant l’égalité :
on déduit :
On obtient ainsi une base de R
5 formée des vecteurs :
dans laquelle la forme réduite de la matrice A s’écrit :
5.4 SYSTÈMES DIFFÉRENTIELS LINÉAIRES
Une des multiples applications de la diagonalisation des matrices est
la résolution des systèmes différentiels linéaires. Avant de traiter cette
question, rappelons la notion de fonction vectorielle.
λ α β
= +
= +
1
2
i
et
i
V V V
α β
α
β
β
α
=
+
= +
+
=
−
+
+
,
1
2
1
2
1
2
1
2
(
i ) (
i )(
i ) (
) i(
)
AV A V V
V V
V
V
V
V
α
β
β
α
=
−
=
+
.
1
1
2
2
1
2
et
AV
V
V
AV
V
V
,
,
,
,
,
,
− ,
,
,
,
,
,
,
−,
,
,
,
,
−,
,
1
2
3
4
5
0 07
0 2
0 01
0 2
0 05
0 06
0 3
0 3
0 3
0 2
0 04
0 05
0 5
0 07
0 4
0 02
0 3
0 5
0 3
0 2
0 20
0 2
0 2
0 2
0 3
V
V
V
V
V
)
)
)
)
)
( ( ( ( (
,
,
,
,
,
− ,
,
=
,
− ,
,
− ,
1
0
0
0
0
0
0 40 0 35
0
0
0 0 35
0 40
0
0
0
0
0
0 35 0 50
0
0
0
0 50 0 35
R
(
)
–0,35
,
,