5.3 • Retour aux matrices de Leslie
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effectifs relatifs dans chaque classe d’âge restent constants. Vous
pouvez vérifier la proportionnalité entre les effectifs des classes d’âge
et les composantes du vecteur propre V, avec la structure des populations au temps 10 :
5.3.4 Le retour des ours
Reprenons l’exemple introductif des ours.
Pour l’étude complète du problème posé, il est intéressant de disposer d’une matrice semblable à la matrice A et qui soit plus simple.
Compte-tenu de la taille de la matrice, les calculs nécessitent un logiciel
adapté, et nous allons seulement donner les résultats ainsi obtenus.
Le polynôme caractéristique de la matrice A est :
Il admet une racine réelle et quatre racines complexes conjuguées :
Les valeurs propres étant distinctes, il existe une base de vecteurs
propres de C
5 .
Le changement de base défini par la matrice de passage :
permet de diagonaliser la matrice A :
classes d’âge
population 1
population 2
vecteur propre
1
33917,0
1319,3
0,867 185 915
2
1395,5
468,3
0,308 819 093
3
794,3
268,7
0,175 960 851
4
1576,1
529,2
0,348 793 829
λ
λ
λ
λ
λ
λ
= − ,
+ ,
+ ,
− ,
+ , .
2
2
( ) ( 1 0)(
0 79
0 28)(
0 70
0 37)
A
P
λ
λ
λ λ λ
λ λ
= ; = − , − ,
; = ; = , − ,
; = .
1
2
3
2
4
5
4
1
040 035i
035 050i
,
,
,
, − ,
, + ,
,
− , + ,
− , − ,
, + ,
, − ,
,
, − ,
, + ,
− , + ,
− , − ,
,
, + ,
, − ,
− , + ,
− , − ,
0 07
0 2
0 2
0 2 0 05 i
0 2 0 05 i
0 06
0 3 0 3i
0 3 0 3i
0 3 0 2 i
0 3 0 2 i
0 04 0 05 0 5i 0 05 0 5i
0 07 0 4 i
0 07 0 4 i
0 02 0 3 0 5i
0 3 0 5i
0 3 0 2i
0 3 0 2i
0 2
0 2 0 2 i
0 2 0 2 i
0 2 0 3i
0 2 0 3i
)
(
–0,2 –0,2 – 0,2 i –0,2 + 0,2 i
0,2 – 0,3 i
0,2 + 0,3 i
− , − ,
− , + ,
, − ,
1
0
0
0
0
0 0 40 0 35i
0
0
0
0
0
04 0 03 5i
0
0
0
0
0
03 5 05 0i
0
0
0
0
0
03 5 05 0i
(
)
,
,
+