5.3 • Retour aux matrices de Leslie
107
• Interprétation de la valeur propre maximale λ
*
Si la valeur propre λ
* est telle que :
– λ
* > 1, la population croît en effectif et vers la direction de V
*
,
– λ
* = 1, la population tend vers un état stationnaire,
– λ
* < 1, la population décroît en effectif et vers la direction de V
*
.
• Comportement d’une population au cours du temps
Lorsqu’on applique n fois le produit matriciel au vecteur initial de la
population, l’effectif global augmente (ou diminue) de manière grossièrement exponentielle en fonction du temps.
Plus en détail, on constate en général des fluctuations dans la
proportion des effectifs des différentes classes d’âge, fluctuations qui
s’estompent pour converger vers des proportions stables.
De même le taux d’accroissement entre les populations successives
varie dans le temps, mais converge progressivement vers une valeur
stable.
La stabilité de la proportion des classes d’âge et du taux d’accroissement trouvent une explication dans les propriétés d’une matrice de
Leslie.
En effet, la plus grande valeur propre positive d’une telle matrice
correspond au taux d’accroissement entre deux populations successives.
Par ailleurs, un vecteur propre correspondant à cette dernière valeur
propre correspond à la proportion stable des différentes classes d’âge
(structure stable de la population, à un facteur multiplicatif près).
• Exemple
Considérons la matrice de Leslie :
Avec un ordinateur, on obtient pour cette matrice la valeur propre
positive :
avec comme vecteur propre associé :
,
,
,
0
1 1 2
2
0 5 0
0
0
0 0 8 0
0
0
0 0 9 0 95
( )
,
,
λ = ,
1 404 035 459
,
,
= ,
0 867 185 915
0 308 819 093
0 175 960 851
0 348 793 82
V
(
0,867 185 915
0,308 819 093
0,175 960 851
0,348 793 829
)
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• Interprétation de la valeur propre maximale λ
*
Si la valeur propre λ
* est telle que :
– λ
* > 1, la population croît en effectif et vers la direction de V
*
,
– λ
* = 1, la population tend vers un état stationnaire,
– λ
* < 1, la population décroît en effectif et vers la direction de V
*
.
• Comportement d’une population au cours du temps
Lorsqu’on applique n fois le produit matriciel au vecteur initial de la
population, l’effectif global augmente (ou diminue) de manière grossièrement exponentielle en fonction du temps.
Plus en détail, on constate en général des fluctuations dans la
proportion des effectifs des différentes classes d’âge, fluctuations qui
s’estompent pour converger vers des proportions stables.
De même le taux d’accroissement entre les populations successives
varie dans le temps, mais converge progressivement vers une valeur
stable.
La stabilité de la proportion des classes d’âge et du taux d’accroissement trouvent une explication dans les propriétés d’une matrice de
Leslie.
En effet, la plus grande valeur propre positive d’une telle matrice
correspond au taux d’accroissement entre deux populations successives.
Par ailleurs, un vecteur propre correspondant à cette dernière valeur
propre correspond à la proportion stable des différentes classes d’âge
(structure stable de la population, à un facteur multiplicatif près).
• Exemple
Considérons la matrice de Leslie :
Avec un ordinateur, on obtient pour cette matrice la valeur propre
positive :
avec comme vecteur propre associé :
,
,
,
0
1 1 2
2
0 5 0
0
0
0 0 8 0
0
0
0 0 9 0 95
( )
,
,
λ = ,
1 404 035 459
,
,
= ,
0 867 185 915
0 308 819 093
0 175 960 851
0 348 793 82
V
(
0,867 185 915
0,308 819 093
0,175 960 851
0,348 793 829
)