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Chapitre 5 • Réduction des matrices
5.3.3 Valeurs propres d’une matrice de Leslie
• Théorème de Perron-Frobenius
Si une matrice réelle carrée de dimension n × n,
, a tous ses
coefficients strictement positifs, alors elle admet une valeur propre
strictement positive λ
* telle que :
et dont l’espace propre associé à λ
* est de dimension 1.
De plus, il existe un vecteur propre, V
* , associé à cette valeur
propre dont tous les coefficients sont strictements positifs.
En fait, concernant la propriété de positivité stricte des coefficients
de la matrice considérée, il suffit de l’exiger pour une puissance de
cette matrice. Une telle matrice est dite régulière.
Ainsi, dans l’exemple des rongeurs (cf. exercice 5.9),
la puissance cinquième de R est à coefficients strictement positifs.
• Deux conséquences du théorème de Perron-Frobenius
Quelle que soit la répartition initiale
, en posant
pour tout entier naturel n, on a :
– si
(répartition en taux), alors :
V
* .
–
.
= ( )
ij
A a
λ
∗
min
max
ij
ij
i
i
j
j
a
a
ഛ ഛ
∑
∑
,
,
= .
= ,
,
,
,
,
,
,
2
0
6 10
2 4 5 0 0
0 4 0
0
0 0 2 4 4 0
0 0 5 0
0 20 0 0 0 0
R
R
( )
)
( 0,2
0,4
,
,
,
,
,
,
= ,
,
,
= ,
,
,
,
,
,
,
,
,
3
4
2 0 14 4 24 0
5 76 24 0 20 0
0 96 2 0 0 0
0 800 5 76 9 60
0 0 1 20 2 0
0 480 1 0
0 0
R
R
(
) (
)
1,2
0,80
0,48
9,6
,
,
,
= ,
,
,
,
,
,
5
9 600 44 560 57 60
2 304 9 600
8 0
0 4000 2 880 4 800
R
(
)
0,400
57,6
4,8
=
, , ,
1
2
0
0
0
0
(
)
t
n
X
x x … x
=
0
k
k
X
A X
+ + + =
1
2
0
0
0
1
n
x x
x
"
→+∞
=
0
lim
k
k
A X
λ
∗
+
→+∞
∀ ∈ , , ,
=
1
{1 2
}
lim
i
k
i
k
k
X
i
… n
X