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Chapitre 5 • Réduction des matrices
d’âge. En notant X n , la répartition de la population au temps n en p classes d’âge, on a :
où A est une matrice carrée d’ordre p.
En fait, X représente un vecteur de R
p écrit dans la base canonique B.
Si l’on change de base et que l’on représente par X le même vecteur
dans une nouvelle base B , alors
où P est la matrice de passage de B à B . De l’égalité
, on
déduit :
Dans la nouvelle base B , la loi d’évolution est donc décrite par la
matrice
.
Nous obtenons ainsi une règle de transformation des représentations matricielles sous l’effet d’un changement de base.
Les matrices A et A sont dites semblables.
• Propriétés
Si A et A sont deux matrices semblables, alors leurs polynômes
caractéristiques sont identiques.
Les valeurs propres d’une loi linéaire d’évolution ou de transformation ne dépendent pas de la base dans laquelle est donnée sa représentation matricielle. On dit qu’elles sont invariantes.
• Matrice diagonalisable
On dit qu’une matrice carrée A est diagonalisable si elle est semblable
à une matrice diagonale.
Cette condition est équivalente à l’existence d’une base formée de
vecteurs propres de A.
• Condition suffisante pour que A soit diagonalisable
Si les valeurs propres d’une matrice A sont distinctes, alors cette
matrice est diagonalisable.
5.3 RETOUR AUX MATRICES DE LESLIE
5.3.1 Construction du modèle
Le modèle de Leslie permet donc de décrire la dynamique de populations structurées en classes d’âge. Ces modèles reposent sur trois
hypothèses fortes :
+ =
1
n
n
X
AX
′
′
=
′
X PX
′
+ =
1
n
n
X
AX
−
+
+
=
⇐
′
′
′
′
1
1
1
n
n
n
n
P
AP
P AP
X
X
X
X
⇔
=
′
−
=
′
1
A P AP
′
′
Chapitre 5 • Réduction des matrices
d’âge. En notant X n , la répartition de la population au temps n en p classes d’âge, on a :
où A est une matrice carrée d’ordre p.
En fait, X représente un vecteur de R
p écrit dans la base canonique B.
Si l’on change de base et que l’on représente par X le même vecteur
dans une nouvelle base B , alors
où P est la matrice de passage de B à B . De l’égalité
, on
déduit :
Dans la nouvelle base B , la loi d’évolution est donc décrite par la
matrice
.
Nous obtenons ainsi une règle de transformation des représentations matricielles sous l’effet d’un changement de base.
Les matrices A et A sont dites semblables.
• Propriétés
Si A et A sont deux matrices semblables, alors leurs polynômes
caractéristiques sont identiques.
Les valeurs propres d’une loi linéaire d’évolution ou de transformation ne dépendent pas de la base dans laquelle est donnée sa représentation matricielle. On dit qu’elles sont invariantes.
• Matrice diagonalisable
On dit qu’une matrice carrée A est diagonalisable si elle est semblable
à une matrice diagonale.
Cette condition est équivalente à l’existence d’une base formée de
vecteurs propres de A.
• Condition suffisante pour que A soit diagonalisable
Si les valeurs propres d’une matrice A sont distinctes, alors cette
matrice est diagonalisable.
5.3 RETOUR AUX MATRICES DE LESLIE
5.3.1 Construction du modèle
Le modèle de Leslie permet donc de décrire la dynamique de populations structurées en classes d’âge. Ces modèles reposent sur trois
hypothèses fortes :
+ =
1
n
n
X
AX
′
′
=
′
X PX
′
+ =
1
n
n
X
AX
−
+
+
=
⇐
′
′
′
′
1
1
1
n
n
n
n
P
AP
P AP
X
X
X
X
⇔
=
′
−
=
′
1
A P AP
′
′